Поверхностные интегралы 1 рода

Формула из теории: .

Задача 10. Найти поверхностный интеграл 1-го рода от скалярной функции по треугольнику с вершинами (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1).

Решение. Во-первых, нужно получить явное уравнение плоскости, в которой расположен треугольник. Пусть . Подставим точку (0,0,1), получим .

Подставим (1,0,0), получим , откуда .

Подставим (0,1,0), получим , откуда .

Итак, уравнение плоскости: .

Тогда , .

= , где - проекция исходного треугольника на плоскость, т.е. треугольник с вершинами (0,0), (1,0) и (0,1) в плоскости, ограниченный сверху линией .

Расстановка пределов в таком двойном интеграле была подробно изучена в прошлом семестре:

= =

= . Далее, чтобы уменьшить количество арифметических действий при раскрытии скобок, можно сделать замену

, при этом получим = =

= = . Ответ. .

Задача 10. Найти поверхностный интеграл 1-го рода от скалярной функции по полусфере радиуса 3 в верхней полуплоскости.

Решение. Уравнение сферы , тогда явное уравнение данной полусферы , соответственно

, .

, где - проекция этой полусферы на плоскость Оху т.е. круг радиуса 3: .

Разобьём на 2 слагаемых, причём во 2-м корни сокращаются:

. В первом перейдём к полярным координатам, а во втором интеграл от 1, т.е. это просто площадь круга.

= = =

= = = .

интеграл по получается 0, поэтому в первом слагаемом интеграл по вычислять уже не нужно.

Ответ. .

Криволинейные интегралы 2 рода

Задача 12.

Найти работу векторного поля по перемещению точки по винтовой линии (спирали), заданной уравнениями

, .

Решение. Требуется вычислить такой интеграл:

или его краткий вид: .

Производные: .

Тогда

Заметим, что присутствует со знаками + и –, сокращается.

= , в первом из них применим интегрирование по частям: .

= = .

Ответ. .

Вариант этой задачи для (домашнее задание).

= = = .

Практика № 3.

Задача 13.

Найти работу векторного поля по перемещению точки по участку параболы , где .

Решение. Здесь используем формулу для явно заданной кривой:

Все , которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде . Очевидно также, что Итак:

= = =

= .

Ответ. .

Задача 13-А (домашняя аналогичная № 13).

Найти работу векторного поля по перемещению точки по участку кубической параболы , где .

Ответ. .

Задача 14.

Найти работу векторного поля по перемещению точки по половине эллипса, заданного параметрически:

, .

Решение. Здесь используем формулу для параметрически заданной кривой: .

При этом учитываем, что . При этом все и , которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде .

= = = =

. Ответ. .

В следующих задачах кривые будут замкнутые, и в них будем применять формулу Грина, доказанную на лекции: .

Наиболее удобно её применение именно в тех случаях, когда граница состоит из нескольких частей, ведь работу векторного поля надо было бы отдельно вычислять по каждой части (у которой своё уравнение в плоскости), а двойной интеграл сразу по единой плоской области.

Задача 15.

Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами:

А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.

Решение.

Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка и полуокружности - вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо (при этом , и ), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: .

По : = 0.

По : =

, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:

1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).

2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.

3) использовать то, что и формулу .

Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.

= = =

= = = .

Решение Б). По формуле Грина.

Если то .

Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то , а радиус 1, .

= = =

= = = = .

Ответ. .

Задача 16.

Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0,0), (0,1), (1,1) с помощью формулы Грина.

Решение. Если не использовать формулу Грина, то на каждой из сторон - горизонтальной, вектикальной и наклонной - надо было бы отдельно провести вычисление работы поля. Используя формулу Грина, мы вычислим лишь один двойной интеграл.

Чертёж этого треугольника:

Далее следует стандартный метод вычисления двойного интеграла, изученный в прошлом семестре. Сначала спроецируем фигуру на ось Ох и найдём глобальные границы по , это . При каждом конкретном высота изменяется от наклонной линии до горизонтальной , то есть . Итак,

= = = = = = = = .

Ответ. .

Задача 17.

Найти циркуляцию где L - это граница четверти круга радиуса 1 (лежащего в 1-й четверти).

Решение. =

. Если бы мы не применяли формулу Грина, то пришлось бы 3 раза вычислять работу силы по трём разным участкам, из которых состоит этот замкнутый контур: часть окружности, горизонтальный и вертикальный отрезки. Чертёж: