ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГРУПП, СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Пусть дана конечная группа порядка n, для определения мультипликативная.

А={ , ,…, }.

Теорема Лагранжа.

Для любой конечной группы порядок любой её подгруппы является делителем порядка самой группы.

Доказательство:

Наша цель доказать, что n делится нацело k.

Пример, |G|=12, | |:1, 2, 3, 4, 6, 12.

Запишем левостороннее разложение группы G по подгруппе А.

G= AÈ AÈ…È A, j - индекс разложении, то есть количество разложения смежных классов.

По свойству 4 смежных классов, любой левый смежный класс состоит из k различных элементов группы G, так как смежных классов j, то всего в разложении будет k-j элементов.

По условию, число элементов в группе равно n, получили равенство n=k-j ⇨ n делится нацело k.

Ч.т.д.

Следствие 1. Порядок любого элемента группы G, где G конечная группа является делителем порядка самой группы.

Доказательство: Действительно, порядок любого элемента группы G совпадает с порядком порожденной им циклической подгруппы по теореме Лагранжа следствие доказано.

Следствие 2. Любая группа простого порядка p является циклической.

Доказательство: Действительно, с помощью каждого элемента группы G можно построить циклическую подгруппу данной группы.

Будет только одна подгруппа первого порядка порожденная нейтральным элементом. Все остальные подгруппы будут иметь порядок Р, так как Р – простое число, а по теореме Лагранжа порядок группы является делителем порядка группы.

Получим, что сама группа совпадает с циклическими подгруппами, следовательно является циклической.

НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ ГРУППЫ.КРИТЕРИЙ НОРМАЛЬНОГО ДЕЛИТЕЛЯ.

Пусть дана для определенности мультипликативная группа G и пусть А – произвольно выбранная подгруппа группы G.

Определение 1.

Подгруппа А группы G называется нормальным делителем группы G если, левосторонне разложение группы G по подгруппе А совпадает с правосторонним разложением группы G по подгруппе А.

Если группа G – абелева, то любая её подгруппа является нормальным делителем группы G.

Определение 2.

Подгруппа А группы G называется нормальным делителем группы G, если "xÎG: x⋅A=A⋅x.

Если подгруппа А группы G является нормальным делителем группы G, то "xÎG и "аÎG, $ , ÎA:

1. x⋅a= ⋅x;

2. a⋅x=x⋅ ;

Возьмем "аÎG, и пусть "xÎG, элементы вида ⋅a⋅x называются сопряженными элементами для элемента а.

Заметим, что элементы вида x⋅a⋅ так же будут сопряженными с элементом а.

x⋅a⋅ = ⋅a⋅x.

Справедлив критерий нормального делителя:

Подгруппа А группы G будет нормальным делителем группы G тогда и только тогда когда подгруппа А вместе с любым а будет содержать все элементы ему сопряженные.

Доказательство:

I. Необходимость;

Дано: А – нормальный делитель группы G.

Доказать: "аÎА, ⋅a⋅xÎА, "xÎG.

Доказательство:

Так как А – нормальный делитель группы G.

x⋅a= ⋅x; a⋅x=x⋅ , где , ÎA.