ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ГРУПП.
БИНАРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ (БАО). СВОЙСТВА.
Пусть дано не пустое множество А.
Определение.
Говорят, что на множестве А выполнима бинарная алгебраическая операция (*), "а,bÎА, одинаковым или различным взятым в определенном порядке по некоторому правилу или закону ставится в соответствие определенный единственный элемент сÎА.
(А,*) *: +, -, ⋅, /, ⋂, ⋃. a*b=c, c-композиция элементов a и b.
Требование к БАО:
1. Выполнимость, элемент сÎА;
2. Однозначность, с – единственное(!);
Рассмотрим прямое произведение множества А на себя А*А=А², оно состоит из всевозможных упорядоченных пар элементов из А. Оно состоит из всевозможных упорядоченных пар элементов из А.
Определение.
Всякое отображение множества А² на или в множество А называется БАО на множестве А.
Наряду с бинарными алгебраическими операциями рассматривается также:
1. Нульарная операция – это правило или закон по которому выделяются особые элементы из множества А.
2. Унарная операция – по этой операции любому элементу из А ставится в соответствие единственный элемент из этого множества.
Пример, дано z, "аÎZ, а ® -а, элементу а соответствует противоположный элемент -а, где -аÎZ.
Q; (Q,⋅), "аÎQ, а ® , ÎQ. Взятие обратного элемента не является унарной операцией на Q, так как нулю нет обратного элемента.
3. Тернарная операция – это любой упорядоченной тройке элементов из А ставится в соответствие единственный элемент из А.
|
|
Пример, (Z,*); * - нахождение НОД, a,b,cÎZ, и так далее.
n-арная операция – это любой упорядоченной n-ке элементов из А, ставится в соответствие единственный элемент из множества А.
Если дана n-арная операция, то n называют рангом этой операции.
Пример, выяснить являются ли БАО следующие операции на множестве.
1.(М,+), М – множество квадратичных матриц n-го порядка с действительными коэффициентами, да являются.
2.(М,∙), "А,ВÎМ, |А|≠0, |В|≠0, |А⋅В|=|А|⋅|В|≠0, А⋅ВÎМ, определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей(Является БАО).
Рассмотрим свойства БАО.
Обозначим через А множество векторов трехмерного векторного пространства, зададим на этом множестве операцию звездочку (*), а звездочка (*) скалярное произведение векторов, так как результатом скалярного произведения двух векторов является число.
Свойства БАО:
1. БАО (*) заданная на множестве А называется коммутативной: "a,bÎА, a*b=b*a, (Z,-): a-b≠b-a;
2. БАО (*) заданная на множестве А называется ассоциативной: "a,b,cÎА, a*(b*c)=(a*b)*c;
Пример 1. (Z,+), Z - множество целых чисел, ассоциативно, т.е a+(b+c)=(a+b)+c;
Пример 2.( Z,-), a-(b-c)≠(a-b)-c;
Пусть на ряду с БАО * на множестве А задана БАО нулик(◦).
|
|
3. БАО * называется дистрибутивной относительно операции нулик, если " a,b,cÎА, a*(b◦c)=(a*b)◦(a*c);
Пример 3. (Z,⋅,+),"A,B,CÎZ, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c;
(Z,+,⋅),"a,b,cÎZ, a+(b⋅c)≠(a+b)⋅(a+c);
(J,⋃,⋂), "A,B,CÎ J, A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C);
Элемент еÎА называется нейтральным элементом относительно операции (*), если "аÎА, а*е = е*а = а:
a) Если операция (*)=+, то е=0 - нулевой элемент;
b) Если операция (*)= ∙, то е=1 - единичный элемент;
4. Элемент а′ÎА называется симметричным для элемента аÎА, относительно операции звездочка(*), если выполняется равенство:
а′ * а = а * а′ = е,
*:-,+; а′=-а - противоположный элемент; *:-,⋅; а′= -обратный элемент.
Пусть дано (А;*) говорят, что на множестве А выполнима обратная операция для операции *, если для "a,bÎА уравнения a*x=b и y*a=b имеют одинаковое решение.
Замечание. Если *-коммутативно, то x=y достаточно рассматривать "их этих уравнений.
Если *=+, то a+x=b, y+a=b (обратная операция вычитание), а когда *= ⋅, то a⋅x=b, y⋅a=b (обратная операция деление).
АЛГЕБРА. ВИДЫ АЛГЕБР.
Пусть дано не пустое множество А на котором задана система алгебраических операций.
Определение. Множество, алгебраических операций на котором задана одна или несколько алгебраических операций называется алгеброй. Иначе алгебра это множество, на котором задана система алгебраических операций.
|
|
Упорядоченная совокупность рангов заданных операций называют типом алгебры. И говорят: две алгебры имеющие одинаковый тип называются однотипными. Алгебра (В, W) называется подалгеброй для алгебры (А, W), если ВÌА.
В зависимости от числа операций, видов и их свойств выделяют различные алгебры, например: группоиды, полугруппы, группы, кольца, поля линейные пространства и т.д.).
Множество на котором задана одна алгебраическая операция называется группоидом.
Множество на котором задана одна бинарная ассоциативная алгебраическая операция называется полугруппой.
Множество на котором задана одна бинарная ассоциативная алгебраическая операция и есть нейтральный элемент называется моноидом. Одним из важнейших примеров алгебр являются группы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ГРУПП.
I. Не пустое множество G≠Æ называется группой G, если в нем определена одна бинарная алгебраическая операция G * удовлетворяющая следующим аксиомам:
|
|
1. (*-ассоциативна)" a, b, cÎG, a*(b*c)=(a*b)*c;
2. $ нейтральный элемент относительно операции *,$еÎG, "aÎG, a*e=e*a=a;
3. Для " элемента из G существует ему симметричный "aÎG, $a¢ÎG, a*a¢=a¢*a=e;
II. Не пустое множество G называется группой, если в нем определена одна бинарная алгебраическая операция * удовлетворяющая двум аксиомам:
1. Операция * - ассоциативна;
2. В G выполнима обратная операция для операции *: "a,bÎG, a*x=b, y*a=b имеют единственное (!) решение;
Если операция * коммутативна, то группу G называют абелевой.
Если операция *:+,-, то группа G называется аддитивной.
Если операция *: ∙, то группа G называется мультипликативной.
Группа G называется конечной, если количество её элементов может быть выражено целым неотрицательным числом. В противном случае группа бесконечна.
Число элементов в конечной группе называют порядком группы.
Теорема.
Определение I и II группы эквивалентны между собой.
Для доказательства теоремы нужно показать, что из определения I следует определение II. Для определенности будем считать, что в G операция *=∙(умножение).
1. Покажем, что из I следует II.
Доказательство.
Пусть G группа по определению I, это значит операция *=∙, удовлетворяет трем аксиомам. Нужно показать, что G группа по определению II, т.к. 1 аксиомы одинаковы, то достаточно проверить выполнимость второй аксиомы определения II, то есть "a,bÎG, a*x=b, y*a=b.
Проведем доказательство для уравнения a*x=b. Для второго уравнения - аналогично.
Т.к. aÎG, то по аксиоме 3, $ ÎG, т.к. ,bÎG, то ⋅bÎG, т.к. G замкнуто относительно операции умножения, иначе, операция умножения является бинарной алгебраической операцией на множестве G.
Покажем, что элемент ⋅b является решением уравнения a⋅x=b, a⋅( ⋅b)=(a⋅ )⋅b=1⋅b=b.
Покажем, что найденное решение единственное:
Предположим, что наряду c x, есть решение , a⋅ =b.
То есть, a⋅ =a⋅ – умножим обе части на слева.
(a⋅ )= (a⋅ ), ( ⋅a)⋅ =( ⋅ a)⋅ , 1⋅ =1⋅ , = .
Вывод: выполнилась 2 аксиома определения II®G группа по определению II.
2. Докажем, что II®I.
Доказательство.
Пусть G группа по определению II, это значит в G выполнимы 2 аксиомы, нужно доказать, что G группа по определению I, а это значит показать выполнимость аксиом 2 и 3 по определению I.
Покажем выполнимость аксиомы 2, "aÎG, a⋅ =a.
По определению II это уравнение имеет единственное решение, обозначим его через (е с индексом а), и назовем правым единичным элементом для элемента а, а⋅ =а.
Покажем ,что является правым единичным элементом, для любого элемента bÎG.
Рассмотрим уравнение y⋅a=b, это уравнение имеет единственное решение, ÎG, ⋅а=b.
Умножим обе части последнего равенства на справа, получили: ( ⋅а)⋅ =b⋅ , ( ⋅а)⋅ = ⋅(а⋅ ).
Получили b=b⋅ .
Получили, что – есть правая единица для любого элемента из G.
Обозначим её е′.
Аналогично, если рассматривать уравнение y⋅a=a, можно доказать существование в G левого единичного элемента. Обозначим его е′′.
Докажем: е′′= е′=е=1. ® =е=1.
Проверим выполнение аксиомы 3 по определению I.
Рассмотрим уравнение вида: а⋅ =1 и а⋅y=1.
Эти уравнения имеют единственное решение обозначим их а′ и а′′ - соответственно.
Получили верные равенства, а⋅а′=1 и а′′⋅а=1.
Рассмотрим 3 элемента принадлежащие G, по аксиоме 1 справедливо равенство, а′′⋅(а⋅а′)=(а′′⋅а)⋅а′. ® а′′=а′= .
Выполнилась 3 аксиома определения I ® G – группа по определению I, и определения I и II эквивалентны.
ч.т.д.
Если нужно доказать, что некоторое множество G образует группу относительно операции (*) нужно проверить выполнимость следующих требований:
1. Будет ли операция (*) бинарной алгебраической на множестве G. Будет ли G замкнуто по операции (*).
2. Будет ли операция (*) ассоциативной на множестве G, здесь же проверяют будет ли операция (*) коммутативна.
3. Доказывают наличие нейтрального элемента относительно операции (*).
4. Доказывают, что для " элемента из G, $ в G ему симметричный.
Заметим, что вместо проверки выполнимости требований 3 и 4 можно проверять выполнимость в G обратной операции (*).
Можно дать следующее определение группы:
Определение.
Непустое множество G называется группой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция ассоциативность, причем для этой операции в G выполнима ей обратная.
Простейшие свойства групп:
1. Существует единственный элемент еÎG, такой что "аÎG, а⋅е=е⋅а=а.
Доказательство следует из доказательства эквивалентности двух определений группы. Действительно, предположим, что в G существует два нейтральных элемента, ⋅ ÎG.
® = =е.
2. "аÎG, $! ÎG, а⋅ = ⋅а=1.
3. В G можно однозначно говорить о произведении любых трех элементов из G более того можно однозначно говорить о произведении любого конечно числа элементов из G.
4. " , ,…, ÎG, = ⋅ ⋅…⋅ ⋅ ,
( = ⋅
Действительно, ( ⋅ ⋅…⋅ )⋅( ⋅ ⋅…⋅ ⋅ )=1.
С другой стороны, )⋅ =1, таким образом получим, что = ⋅ ⋅…⋅ .
Примеры групп:
1. (N,+) – не группа, так как нет нуля;
2. (Z,+), Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} – аддитивная абелева бесконечная группа целых чисел;
3. (Q,+), (R,+), (C,+) – бесконечные аддитивные абелевы группы;
4. (Z,⋅) – не группа, так как не для " есть обратный элемент;
5. (Q,⋅) – не группа, для нуля нет обратного;
6. (Q\{0},⋅) – мультипликативная бесконечная абелева группа;
7. (R\{0},⋅), (C\{0},⋅) – мультипликативные абелевы группы;
8. G={1;-1}, (G,⋅), если множество конечно составляем таблицу Кэли.
1. Операция ⋅ (точка) бинарная алгебраическая операция на G.
2. GÌZ, коммутативно и ассоциативно в G.
3. 1ÎG.
4. Для 1 обратный элемент 1, для -1 обратный -1.
G – конечная мультипликативная абелева группа второго порядка.
9. G={1, i, -1, -i}, (G,⋅),
1. Операция (⋅) (точка) бинарная алгебраическая операция.
2. Так как GÌC, а в C умножение коммутативно и ассоциативно, то умножение коммутативно и ассоциативно в G, как на подмножестве C. Если таблица Кэли симметрично относительно диагонали, то операция коммутативна.
3. 1ÎG.
4. 1 обратный элемент 1, для -1 обратный -1, для i обратный элемент i, для –i обратный –i.
Конечная мультипликативная группа четвертого порядка.
Пример, конечная мультипликативная группа корней n-ой степени из 1 порядка n. y
1=1+0⋅1, 1=1(cos0+isin0) 0 x
= =cos +isin , k= ,
G={ },
n=2,
=( cos +isin )=cosПk+isinПk, kÎZ.
k=0,
=cos0+isin0=1,
k=1,
= cosП+isinП=-1,
G={1,-1}.
n=3,
= cos +isin , k=0,1,2;
k=0,
=cos0+isin0=1,
k=1,
= cos +isin =- ,
k=2,
= cos +isin =- ,
G={1, - , - }.
n=4,
= cos +isin = cos +isin , k=0, 1, 2, 3;
k=0,
=cos0+isin0=1,
k=1,
= cos +isin =i,
k=2,
=cosП+isinП=-1,
k=3,
= cos +isin =-i,
G={1;i;-1;-i}.
Пусть дано множество G корней n-ой степени из 1.
G={ }.
Покажем, что G образует мультипликативную абелеву группу n-го порядка.
(G,⋅)
1. " , ÎG, =1, =1; докажем, что ÎG, = ⋅ =1⋅1=1 ⇨ ÎG.
2. GÌC, а в C – умножение ассоциативно и коммутативно ⇨ умножение ассоциативно и коммутативно в G как на подмножестве C.
3. =1, "n ⇨ 1ÎG.
4. " ÎG, =1 обратный элемент , так как ⋅ =1, = = =1 ⇨ ÎG.
Таким образом, множество корней n-ой степени из 1, есть конечная мультипликативная абелева группа n-го порядка.
Определение. Корень называют первообразным корнем, если он только в n-ой степени даёт единицу, и ни в какой меньшей степени, чем в n единицы не даёт.
Пример, ={1;-1}=G, 1ÎG, =1 – не первообразный корень, -1ÎG, -1 – первообразный корень.
Пример 2, G= ={1, i, -1, -i},
1ÎG, =1 – не первообразный корень,
i ÎG, =I, =-1, =-i, =1, i – первообразный корень,
-1ÎG, =1 – не первообразный корень,
-iÎG, =-i, =-1, =i, =1, i – первообразный корень.
Справедливо утверждение: Корень будет первообразным корнем n-ой степени из единицыÛкогда k и n взаимно просты.
Пример 3, пусть G= ={ },
D(1,8)=1, – первообразный корень,
D(2,8)=2, - не первообразный корень,
D(3,8)=1, - первообразный корень,
D(4,8)=4, - не первообразный корень,
D(5,8)=1, - первообразный корень,
D(6,8)=2, - не первообразный корень,
D(7,8)=1, -первообразный корень.
Пример 4, G= , , , , , , , – все первообразные корни.
Справедливо следующее свойство первообразных корней:
Если - первообразный корень , то числа , , ,…, совпадают с корнями n-ой степени из единицы.
ГРУППА ПОДСТАНОВОК n -ОЙ СТЕПЕНИ.
Пусть дано множество, состоящее из n элементов. В частности, множество первых n натуральных чисел. Всякое расположение n элементов в некотором определенном порядке называют перестановкой из n-элементов.
$n! перестановок из n элементов.
Запишем 2 перестановки одну под другой получим подстановку n-ой степени.
Определение.
Всякое взаимно однозначное отображение n-элементов на себя называют подстановкой n-ой степени или всякое взаимно-однозначное отображение первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-ой степени.
Пример 1, ( )= ( .
$n! подстановок n-ой степени.
Любую подстановку n-ой степени можно записать так, что первая подстановка идет в обычном порядке, это значит количество разных подстановок зависит от количества различных вторых перестановок.
Различных постановок n-ой степени будет n!
Обозначим множество всех подстановок n-ой степени через .
Покажем, что множество образует конечную мультипликативную группу порядка n!
Для этого на множестве введем операцию умножение подстановок.
Под произведением двух подстановок n-ой степени понимают результат двух последовательно взаимно-однозначных отображений n-элементов на себя.
Из определения следует, что результатом произведения двух подстановок n-ой степени будет снова подстановка n-ой степени.
, "А, ВÎ ,
А=( ), В=( ),
А⋅В=( )⋅( )=( ),
В⋅А=( )⋅( )=( ).
Множество замкнуто относительно операции умножения.
Покажем, что операция умножения подстановок ассоциативна:
"А, В, СÎ ,
(А⋅В)⋅С=А⋅(В⋅С),
А: α®β,
В: β®γ,
С: γ®δ.
А⋅В: α® γ, (А⋅В) ⋅С: γ®δ, (А⋅В) ⋅С= α® δ, В⋅С: β® δ, А⋅(В⋅С): α® δ.
Роль единичного элемента выполняет, так называемая единичная или тождественная подстановка, которая каждый элемент оставляет на месте.
Е=( ), Е=( ).
"АÎ , А⋅Е= Е⋅А=А
А=( ), $ =( ).
Таким образом, множество всех подстановок степени n образует в общем случае не абелеву мультипликативную конечную группу порядка n!, её называют симметрической группой подстановок n-ой степени.
ПОДГРУППЫ. КРИТЕРИИ ПОДГРУПП.
Пусть дана для определенности мультипликативная группа G:
(G,⋅), АÌG, множество А¹Æ, называют подгруппой группы G, если оно само образует группу относительно операции определенной в G.
Критерии подгрупп:
Для того чтобы не пустое подмножество А группы G, было подгруппой группы G, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись 2 требования:
1.)"а,bÎA, a⋅bÎA;
2.)"aÎA, $ ÎA;
Доказательство:
I. Необходимость;
Дано: (G,⋅) – группа, А – подгруппа G.
Доказать: выполнимость 1 и 2.
Так как А подгруппа G, то А образует группу относительно заданной операции ⇨ А замкнута относительно операции и для " элемента из А есть ему обратный.
II. Достаточность;
Дано: (G,⋅) – группа, А¹0, АÍ G, выполняются 1 и 2 условия.
Доказать: А – подгруппа группы G.
Чтобы доказать, что А – подгруппа группы G нужно доказать, что А образует группу относительно заданной операции, таким образом проверить все требования определяющие группу:
Из выполнимости требования 1 следует, что операция умножения является бинарной алгебраической операцией на множестве А. Операция умножения ассоциативна в А, как на подмножестве группы G. Из выполнимости требования 2 для "аÎА, $ ÎА. Из выполнимости требования 1 а⋅ = ⋅а=1, 1ÎА. Достаточность доказана, так как АÍ G, то А является подгруппой группы G. У всех подгрупп один и тот же нейтральный элемент, это нейтральный элемент группы G и одна и та же бинарная алгебраическая операция, которая задана в G.
Примеры подгрупп:
1. Любая группа для себя является подгруппой.
2. Подмножество состоящее из одного нейтрального элемента данной группы является её подгруппой.
Примеры 1 и 2 – это примеры не собственных подгрупп группы G, любая другая подгруппа группы G, если она есть называется собственной подгруппой группы G.
3. (Z,+) подгруппа (Q,+) подгруппа (R,+) подгруппа (C,+).
4. (G\ {0},⋅) подгруппа (R\ {0},⋅) подгруппа (C\ {0},⋅).
5. А={k⋅n|/kÎN, n ÎZ} – множество целых чисел кратных к.
(А,+) – аддитивная абелева группа, АÍZ, (А,+) подгруппа для (Z,+).
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1262; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!