Представление пространственных кривых
Трехмерные кривые можно представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое представление имеет вид
Неявное непараметрическое представление кривой как пересечение двух поверхностей задается уравнением:
Например, найти линию пересечения двух поверхностей второго порядка
При условиях, что
,
z ≠ 0, х и у можно выразить относительно z и получить вид линии пересечения
Заметим, что при пересечении двух поверхностей второго порядка получается кривая третьего порядка.
Общий параметрический вид пространственной кривой можно записать как
где параметр t изменяется в определенных приделах 
. В приведенном выше явном непараметрическом представлении х можно рассматривать как параметр, х = t. Тогда эта же кривая имеет параметрическую форму
Далее, пусть z = t в неявном непараметрическом представлении из рассмотренного примера, тогда
Некоторые полезные параметрические трехмерные кривые имеют известное аналитическое решение. Например, кривая шва на теннисном или бейсбольном мяче имеет вид:
где
Параметр θ = 2pt и 0 ≤ t ≤1,0. Если d = 0 и c2 = 4ab, то кривая лежит на сфере радиуса а + b. На рис. 4.23, а приведен пример для а =1, b = 1, c = 2, d = 0, где кривая лежит на сфере радиуса 2.
Другой пример параметрической пространственной кривой – круговая спираль (4.23, б) для r, b ≠ 0, -∞ < t < ∞
|
|
|
Рис. 4.23
Эта кривая лежит на поверхности цилиндра радиуса |r|. Уравнение z = bt отвечает за распространение спирали по оси z. После каждого изменения параметра t на 2p переменные х и у возвращаются к своим первоначальным значениям, а z увеличивается или уменьшается на 2p|b| в зависимости от знака b. Эта величина называется шагом спирали.
В промышленности, например судо-, автомобиле- и авиастроении, окончательная форма в реальном или близком к нему масштабе определяется в процессе доводки. Автоматизация этого процесса представляла значительный интерес для машинной графики. Форма математического сплайна повторяет контур физического сплайна, т. е. гибкой деревянной или пластмассовой линейки, проходящей через определенные точки. Для изменения формы сплайна используются свинцовые гири. Меняя их количество расположение, получившуюся кривую стараются сделать более гладкой, красивой и «приятной для глаза».
Если рассматривать физический сплайн как тонкую гибкую рейку, его форма (отклонение у) определяется уравнением Эйлера для момента изгиба М(х) вдоль рейки:
где Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала рейки; I – момент инерции, определяемый формулой кривой; R(x) – радиус кривизны.
|
|
|
Для малых отклонений (у' < 1) радиус приближенно равен
где штрих обозначает производную по х – расстоянию вдоль рейки, а у – отклонение рейки. Уравнение Эйлера принимает вид
.
Пусть грузики действуют как простые подпорки, тогда момент изгиба между ними изменяется линейно. Подставляя М(х) = Ах + В в уравнение Эйлера, получаем
,
и после двойного интегрирования
Таким образом, форма сплайна задается кубическим полиномом.
В общем случае математический сплайн это кусочный полином степени К с непрерывной производной степени К – 1 в точках соединения сегментов. Так, например, кубический сплайн имеет в точках соединения непрерывность второго порядка. Кусочные сплайны из многочленов невысокого порядка очень удобны для интерполяции кривых, так как они не требуют больших вычислительных затрат и не вызывают численных отклонений, свойственных многочленам высокого порядка. По аналогии с физическими сплайнами обычно используется серия кубических сегментов, причем каждый сегмент проходит через две точки. Кубический сплайн удобен еще и тем, что это кривая наименьшего порядка, допускающая точки перегиба и изгиб в пространстве.
|
|
|
Более подробно моделирование кривых с помощью кубических сплайнов рассматривается в разделах дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР», а также в [3, 7].
Представление поверхностей
Возможно самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью х и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения – отрезок, прямая или плоская кривая – лежат на плоскости ху. Далее рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.
Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси – это точка. При условии что точка не лежит на оси, вращение на угол 2p (360º) породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.
Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол 2p (360º) породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 4.24.
|
|
|
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол 2p (360º) будет получен усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса – длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса – это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 4.25.
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол 2p (360º) будет получен плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 4.26.
И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т. е. некомпланарен, то вращение на угол 2p (360º) породит однополостный гиперболоид.
|
Рис. 4.25
Рис. 4.26
Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрального полуэллипса, расположенного в плоскости ху, получится эллипсоид вращения рис. 4.27, б.
Напомним параметрическое уравнение полуэллипса:
,
(4.69)
Для любой точки эллипсоида параметрическое уравнение:
,
, 
. (4.70)
Рис. 4.27
При a = b = r уравнение (4.70) превращается в уравнение для сферы. Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности (рис. 4.28, а) или эллипса соответственно (рис. 4.28, б).
а б
Рис. 4. 28
Параметрическое уравнение эллипса на плоскости ху с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так
, 
где (h,k) – это х, у – координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:
, (4.71)
где 0 ≤ θ ≤ 2p, 0 ≤ φ ≤ 2π. Если a = b =r, то уравнение (4.71) задает тор с сечением в виде окружности. Если a ≠ b, то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 4.28 представлены оба типа торов.
Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы
, 
,
(4.72)
вокруг оси х. параметрическая поверхность задается уравнением
, (4.73)
,
Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы
, ,
. (4.74)
вокруг оси х. Параметрическая поверхность задается уравнением
, (4.75)
, .
Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн.
Более подробно конструирование точечных каркасов поверхностей по заданным конструктивным условиям, полигонной поверхности Безье,
В-сплайн поверхности третьего порядка, а также интерполирующей поверхности Кунса по заданному криволинейному контуру рассматривается в специальных разделах дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР».
Вопросы для самопроверки
1. Как представляют точку в пространстве и на плоскости с помощью матрицы?
2. Как записывается матрица общего преобразования точки размером 2´2?
3. Какое значение имеют элементы матрицы преобразования, чтобы результатом было масштабирование?
4. Какое значение элементов матрицы преобразования приводит к изменению координат точки?
5. Какой вид должна иметь матрица преобразования, чтобы получить сдвиг координат точки?
6. Какой вид должна иметь матрица преобразования, если результатом должен быть поворот, отражение и масштабирование фигуры?
7. Что такое однородные координаты точки?
8. Какой вид имеет матрица преобразования фигуры в пространстве?
9. Перечислите правила выполнения преобразований.
10. Как задать кривую второго порядка в параметрической форме?
11. Как представить в явной непараметрической форме пространственную кривую?
12. Как задать трехмерную поверхность вращением двумерного объекта?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящее время быстро развивается новое научное направление –автоматизированное проектирование – это любое применение ЭВМ для автоматизации проектирования как отдельных элементов, так и подсистем или систем.
С помощью ЭВМ решаются многие задачи геометрического характера. Так, машинная графика рассматривает автоматизацию процессов подготовки, преобразования, хранения и воспроизведения графической информации с помощью ЭВМ. Интерактивная графика – это также использование ЭВМ для подготовки и воспроизведения графической информации, когда конструктор имеет возможность оперативно вносить изменения в изображение непосредственно во время его воспроизведения.
Вычислительная геометрия или автоматизированное геометрическое моделирование – это представление в ЭВМ, анализ и синтез информации о геометрическом образе, т. е. это теоретическая основа решения геометрических задач с помощью ЭВМ.
Для решения этих задач требуется некоторая подготовка студентов.
В первую очередь, это требования к математическим знаниям, а именно, студент должен знать основы начертательной геометрии (раздел 1), основные понятия аффинной и аналитической геометрии (раздел 2), уметь обобщать аффинную теорию и владеть основными идеями синтетической проективной геометрии (раздел 3).
Таким образом, для решения разного рода геометрических задач методами компьютерной графики требуется овладение синкретичным курсом «Инженерная геометрия».
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 737; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!