Геометрическая интерпретация однородных координат
Матрицу преобразования размером 3´3 для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части
. (4.50)
Напомним, что a, b, c и d – коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы m и n задают перемещение. В предыдущих подразделах коэффициенты имели значения p = q = 0 и s = 1. установим величины p и q не равными 0. какой эффект получится? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.
При p = q = 0 и s = 1 однородные координаты преобразованных векторов всегда равны h = 1. геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью h = 1.
Для иллюстрации эффекта преобразования при p и q, отличных от нуля, рассмотрено следующее выражение:
. (4.51)
Здесь X = hx, Y = hy и h = px + qy + 1. преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как h = px + qy + 1. Это преобразование показано на рис. 4.13, где отрезок АВ, принадлежащий физической плоскости h = 1, преобразуется в СD со значением h ≠ 1, т. е. pX + qY – h + 1 = 0.
Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с h = 1, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой CD с плоскости h ≠ 1 обратно на плоскость h = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 4.13, используя правило подобия треугольников, получим
|
|
|
или в однородных координатах
.
Рис. 4.13
После этого, нормализуя выражение (4.51) делением однородных координат на величину h, получаем
(4.52)
или
,
. (4.53)
Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.
Пример 6. Проецирование в однородных координатах
Для отрезка АВ из рис. 4.13 имеем p=g=1, [А] = [1 3 1]и[В] = [4 1 1],
.
Таким образом, [С] = [1 3 5] и[D] = [4 1 6] на плоскости h = x+y+1. Проецируя обратно на плоскость h=1 путем деления на коэффициенты однородных координат, проведем двумерное преобразование точек
,
.
Результат показан на рис. 4.13.
4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального
масштабирования
Оставшийся необъясненным элемент s (3´3) – матрицы преобразования соответствует пропорциональному масштабированию, при котором все компоненты вектора изменяются пропорционально. Покажем это, рассмотрев следующие преобразования:
, (4.54)
где Х = х, Y = y и h = s. После нормализации получим X* = x/s и Y = y/s. Таким образом, преобразование [x y 1] [Т] = [x/s y/s 1] является равномерным масштабированием координатного вектора. Если s < 1, то происходит растяжение, а если s >1 – сжатие.
|
|
|
Заметим, что это преобразование осуществляется также в плоскости h = 1. Здесь h = s = const, и поэтому плоскость h ≠ 1 параллельна плоскости h = 1. Геометрическая интерпретация данного эффекта показана на рис. 4.14.
Рис. 4.14
Если s < 1, то h = const задает плоскость, лежащую между плоскостями h = 1 и h = 0. Следовательно, когда преобразуемая прямая АВ проецируется обратно на плоскость h = 1, то A*B* увеличивается. Аналогично, если s > 1, то h = const определяет плоскость, расположенную за плоскостью h = 1 и проходящую вдоль оси h. В случае проецирования прямой CD на плоскость h = 1 происходит уменьшение прямой C*D*.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 514; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!