Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Рассмотрим вопрос об использовании дифференциала в приближенных вычислениях.
Известно, что∆y=y’∆x+α∆x и dy=y’∆x
поэтому можно записать∆y=dy+ α∆x
Это позволяет сделать вывод о том, что ∆y≈dy
т.е. приближенное значение приращения функции совпадает с ее дифференциалом.
Функция может быть довольно сложное выражение и ее приращение не всегда просто
найти, но при достаточно малых значениях |Δx|приращение функции можно заменить ее
дифференциалом, исключая точки, где у' = 0.
Отсюда находим 
Это одна из основных формул для приближенных вычислений
Пример 1.
Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение
функции y = x3 – 7x2 + 80 при изменении аргумента х от 5 до 5,01
Решение.
Находим Δу≈ dy = y' Δx = (3x2 – 14x) Δx.
При х = 5, Δx = 5,01 – 5 = 0,01 получим
Δу|x=5, Δx = 0,01 = (3. 52 – 14. 5). 0,01 = (3. 25 - 14. 5). 0.01 = 0,05
Вычисление погрешности приближенного приращения функции.
Абсолютная и относительная погрешности.
Рассмотрим функцию y = f(x). Предположим, что величина х получена непосредственным
измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении
величины х допускается некоторая погрешность Δх.
Пусть х – приближенное значение аргумента (измеряемой величины),
Δх – абсолютная погрешность величины х,
(х + Δх) – истинное значение измеряемой величины (Δх может быть как положительным, так и отрицательным числом).
|
|
|
Тогда х определяет приближенное значение функции f(х), а (х +Δх) – ее истинное значение f(х + Δх), из чего следует, что точное приращение функции Δy = f(х + Δх) - f(х).
При близких к нулю значениях Δх величину Δy можно приближенно заменить дифференциалом dy:
Тогда абсолютная погрешность вычисляется по формуле
Δ = |Δy - dy|,
а относительная по формуле: 
Пример 2.
Найти приближенно приращение функции у = 3х2 + 2 при х =2 и Δx = 0,001. Определить абсолютную и относительную погрешности вычисления.
Решение.
Так как приращение аргумента - величина малая, то приращение функции можно
заменить ее дифференциалом:
Δу ≈dу|x=2, Δx = 0,001 = 6xdx|x=2, Δx = 0,001 = 6. 2. 0,001 = 0,012
Найдем ошибку, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом. Для
этого вычислим точное значение приращения функции:
Δу = f(x + Δx) – f(x) = 3(x + Δx)2 + 2 – (3x2 + 2) = 3x2 + 6xΔx+ +3(Δx)2 + 2 – 3x2 – 2 = 6xΔx +3(Δx)2;
Δу|x=2, Δx = 0,001 = 6. 2. 0,001 + 3. 0,000001 = 0,012003.
Сравнивая точное значение Δу с приближенным, видим, что абсолютная погрешность есть Δ = |Δy – dy| = 0,000003.
Относительная погрешность составляет 
Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!