Корреляционные функции детерминированных сигналов
С физической точки зрения корреляционная функция характеризует взаимосвязь или взаимозависимость двух мгновенных значений одного или двух различных сигналов в моменты времени и . В первом случае корреляционную функцию часто называют автокорреляционной, а во втором - взаимнокорреляционной. Корреляционные функции детерминированных процессов зависят только от .
Если заданы сигналы и , то корреляционные функции определяют следующими выражениями:
- взаимнокорреляционная функция; (2.66)
- автокорреляционная функция. (2.67)
Если и - два периодических сигнала с одинаковым периодом T, то очевидно, что их корреляционная функция тоже является периодической с периодом Т и, следовательно, она может быть разложена в ряд Фурье.
Действительно, если в выражении (2.66) разложим в ряд Фурье сигнал , то получим
(2.68)
где и - комплексные амплитуды n-й гармоники сигналов и соответственно, - комплексно-сопряженный с коэффициент. Коэффициенты разложения взаимно корреляционной функции можно найти как коэффициенты ряда Фурье
. (2.69)
Частотное разложение автокорреляционной функции легко получить из формул (2.68) и (2.69), положив , тогда
. (2.70)
А так как и, следовательно,
, (2.71)
то автокорреляционная функция - четная и поэтому
|
|
. (2.72)
Четность автокорреляционной функции позволяет ее разложить в тригонометрический ряд Фурье по косинусам
. (2.73)
В частном случае, при , получим:
.
Таким образом, автокорреляционная функция при представляет собой полную среднюю мощность периодического сигнала , равную сумме средних мощностей всех гармоник.
Частотное представление импульсных сигналов
В предыдущем рассмотрении предполагалось, что сигналы непрерывны, однако при автоматической обработке информации часто используются и импульсные сигналы, а также преобразование непрерывных сигналов в импульсные. Это требует рассмотрения вопросов частотного представления импульсных сигналов.
Рассмотрим модель преобразования непрерывного сигнала в импульсную форму, представленную на рис.2.6а.
|
Пусть на вход импульсного модулятора поступает непрерывный сигнал (рис.2.6б). Импульсный модулятор формирует последовательность единичных импульсов (рис.2.6в) с периодом Т и длительностью импульсов t, причем . Математическую модель такой последовательности импульсов можно описать в виде функции :
|
|
(2.74)
где k - номер импульса в последовательности.
Выходной сигнал импульсного модулятора (рис.2.6г) можно представить в виде:
.
На практике желательно иметь частотное представление последовательности импульсов. Для этого функцию , как периодическую, можно представить в виде ряда Фурье:
, (2.75)
где
- спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье; (2.76)
- частота следования импульсов;
n - номер гармоники.
Подставляя в выражение (2.76) соотношение (2.74), найдем :
, (2.77)
при ;
.
Подставляя (2.76) в (2.74), получим:
(2.78)
Преобразуем разность синусов, тогда
. (2.79)
Введем обозначение фазы n-ой гармоники
. (2.80)
Тогда
. (2.81)
Таким образом, последовательность единичных импульсов содержит наряду с постоянной составляющей бесконечное число гармоник с уменьшающейся амплитудой. Амплитуда k-ой гармоники определяется из выражения:
. (2.82)
При цифровой обработке сигналов проводится дискретизация (квантование) по времени, то есть преобразование непрерывного сигнала в последовательность коротких импульсов. Как показано выше, любая последовательность импульсов имеет довольно сложный спектр, поэтому возникает естественный вопрос, каким образом процесс дискретизации по времени влияет на частотный спектр исходного непрерывного сигнала.
|
|
Для исследования этого вопроса рассмотрим математическую модель процесса дискретизации по времени, представленную на рис.2.7а.
Импульсный модулятор (ИМ) представляется в виде модулятора с несущей в виде идеальной последовательности очень коротких импульсов (последовательности d-функций) , период следования которых равен Т (рис.2.7б).
На вход импульсного модулятора поступает непрерывный сигнал (рис.2.7в), а на выходе образуется импульсный сигнал (рис.2.7г).
|
Тогда модель идеальной последовательности d-функций можно описать следующим выражением
, (2.83)
а выходной сигнал , который представляет собой последовательность идеальных импульсов, амплитуды которых соответствуют последовательности мгновенных значений входного сигнала ( , , и т.д.) может быть записан в следующем виде:
. (2.84)
|
|
Последовательность дискретных значений сигнала , как показано ранее, может быть представлена следующим выражением:
. (2.85)
Так как функция последовательности идеальных импульсов периодическая, то она может быть разложена в ряд Фурье
, (2.86)
где , (2.87)
.
Так как
, (2.88)
то можно написать
. (2.89)
Таким образом, спектр идеальной последовательности d-функции состоит из бесконечного числа гармоник с одинаковой амплитудой . И сигнал на выходе импульсного модулятора можно найти из соотношения:
. (2.90)
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1687; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!