Частотная форма представления детерминированных сигналов
Современные системы обработки информации и, в частности, системы обработки изображений являются сложными комплексами взаимодействующих технических устройств, для описания которых часто используют их математические модели. При этом вся система представляется в виде совокупности отдельных инвариантных во времени линейных звеньев, работа каждого из которых описывается либо линейными дифференциальными уравнениями, либо уравнениями в конечных разностях.
При исследовании таких систем решения всегда содержат экспоненциальные функции времени, так как этот класс функций инвариантен по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования.
Поэтому для представления детерминированных сигналов широко используются системы базисных функций вида , как при (преобразование Фурье), так и при (преобразование Лапласа). При этих преобразованиях параметром базисных функций является частота (ω).
Причем важно отметить, что использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье попарно (с положительным и отрицательным параметром ω) позволяет, в соответствии с формулами Эйлера, представить сигнал в виде гармонических составляющих, то есть перейти к системе базисных функций вида , которые тоже содержат в качестве параметра частоту (ω).
Поэтому эти методы представления детерминированных сигналов называют частотной формой представления сигнала. Причем первый вид представления (на основе базисных функций вида ) носит название экспоненциального или комплексного, а второй (на основе гармонических базисных функций) - тригонометрического.
|
|
Важно отметить, что экспоненциальный и тригонометрический виды представления детерминированного сигнала не являются двумя различными видами представления, а представляют собой лишь различные выражения частотной формы представления сигнала. Анализ работы как отдельных звеньев, так и всей информационной системы в целом, как правило, проводится с помощью частотных методов (основанных на частотном представлении сигнала), теория которых широко разработана и которые позволяют применять широко распространенную измерительную технику. Поэтому представляет большой интерес математическое описание различного вида сигналов и процессов их обработки в частотной области.
Математическое описание одномерных сигналов
Одномерные сигналы, как указывалось ранее, представляются функциями одного аргумента, например: . Для представления одномерных сигналов в частной области удобно разделить их на три вида: гармонические, периодические и непериодические.
|
|
а) Гармонический сигнал традиционно записывается в следующем виде:
, (2.13)
где - амплитуда гармонического сигнала;
- частота гармонического сигнала;
φ - фаза;
и представляет собой простейший вид одномерных сигналов.
Выражение (2.13) представляет собой тригонометрический вид представления, который может иметь и иную запись, соответствующую разложению по базисным функциям:
, (2.14)
где ,
.
Справедливость этого соотношения легко проиллюстрирует рис.2.1
Спектр гармонического сигнала состоит только из одной частоты .
Под спектром сигнала понимается совокупность гармонических сигналов с заданными частотами, амплитудами и фазами, сумма которых даст исходный сигнал.
Наряду с тригонометрической формой представления гармонического сигнала широко используетсся комплексная форма представления. Идея перехода от тригонометрической формы представления к комплексной заключается в следующем. Гармонический сигнал можно представить как проекцию радиуса единичной окружности в комплексной области на действительную ось (рис.2.2). Поэтому имеет место следующее соотношение
|
|
. (2.15)
Еще одну форму комплексного представления гармонического сигнала можно получить исходя из формул Эйлера:
В этом случае получаем следующее соотношение
. (2.16)
Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис.2.3а.
Тригонометричессикй вид Комплексный вид
Действительная функция получается в первом случае как проекция OB вектора на горизонтальную ось, а во втором –как сумма проекций OB на ту же ось двух векторов с амплитудами , вращающимися с угловой частотой во взаимнопротивоположных направлениях.
В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выражения (2.16) можно трактировать как колебание с «отрицательной» частотой, что приводит к следующей записи:
. (2.17)
Нетрудно видеть, что в данном случае «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Хотя, если рассматривать частоту как скорость изменения фазы гармонического сигнала , то отрицательные частоты приобретают физический смысл и они равноправны с положительным.
|
|
Графически амплитудный спектр гармонического сигнала (рис.2.4а), может быть представлен как в виде, показанном на рис.2.4б, так и в виде, показанном на рис.2.4в.
Пусть - периодическая функция, заданная на интервале и удовлетворяющая условию Дирихле (то есть – непрерывна на этом интервале или имеет конечное число точек разрыва первого рода). Таким образом,
,
где - период функции .
В этом случае сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, то есть может рассматриваться как сумма гармонических колебаний с угловыми частотами (представлен в тригонометрической форме):
, , (2.18)
;
причем называется основной частотой, а - соответствующими гармониками или обертонами.
Разложение производится по следующей формуле (тригонометрическая форма):
, (2.19)
где
; (2.20)
- постоянная составляющая; (2.21)
; (2.22)
. (2.23)
Ряд Фурье может быть записан и в комплексной форме:
, (2.24)
, (2.25)
где ; (2.26)
.
Следует еще раз подчеркнуть, что полученные тригонометрический и экспоненциальные разложения в ряд Фурье не являются двумя различными типами рядов, а выражают одно разложение двумя различными способами. Как видно из выше приведенных выражений, коэффициенты одного разложения можно выразить через коэффициенты другого:
(2.27)
Амплитуды и являются взаимосопряженными комплексными величинами и отвечают условию
. (2.28)
При тригонометрическом виде представления функцию называют односторонним (не имеющим отрицательных частот) спектром амплитуд, а функцию - называют спектром фаз (односторонним).
В случае экспоненциального вида представления ряда Фурье функцию принято называть комплексным спектром периодического сигнала, если эту функцию (2.14) представить в виде
; , (2.29)
то функции и называют соответственно спектром амплитуд и спектром фаз.
Таким образом, если известны спектры амплитуд и спектры фаз сигнала , то в соответствии с (2.19) и (2.24), он может быть однозначно восстановлен.
Как легко заметить из приведенных соотношений, спектры периодических сигналов определены только в дискретных точках , поэтому спектры периодических сигналов называют линейчатыми или дискретными. Такие спектры принято изображать графически в виде вертикальных линий на частотах , причем высота каждой линии пропорциональна амплитуде или фазе соответствующей гармоники, что дает наглядное представление о «ширине спектра» и относительной величине отдельных ее составляющих.
На рис.2.5а показаны примеры амплитуды и фазы одностороннего частотного спектра периодического сигнала, представленного в комплексной форме.
Линейчатый спектр
тригонометрический комплексный
Таким образом, две характеристики: амплитудная и фазовая каждой гармоники определяют частотный спектр периодического сигнала и однозначно его описывают.
Как видно из рис.2.5б двухсторонние спектры периодических сигналов обладают интересной особенностью: спектры амплитуд симметричны относительно оси , а спектры фаз симметричны относительно начала координат. Это легко доказать для общего случая. Действительно, исходя из выражений 2.14, 2.15, 2.16 и являются комплексно-сопряженными величинами, следовательно то есть - четная функция n и график функции - симметричен относительно оси .
Если - действительная величина, то - так же действительная величина и , а если - комплексная величина, то
и .
Следовательно - нечетная функция n и ее график симметричен относительно начала координат.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1247; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!