Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

(3)

Если векторы заданы своими координатами , то скалярное произведение находят так:

(4)

Пример 4 В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной 4, найти скалярное произведение векторов

Решение: так как углы в равностороннем треугольнике по 60⁰, то, используя формулу (3), получим

Ответ: 8.

Используя формулы (1), (3), (4),можно вывести формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

(5)

Пример 5 Найти угол А в треугольнике АВС, если А(6;7), В(3;3), С(1;-5).

Решение: Определим координаты векторов . Вычислим косинус угла между векторами по формуле (5):

соs

Задания для самостоятельного решения

1.Найти координаты векторов , если

2. Найти координаты векторов если

3. Даны точки А(3;-1);В(0;-5);С(-2;1). Найти:

4. Даны точки А(4;0), В(-1;3),C(5;7). Найти: .

5. Дан треугольник с вершинами F(7;7),D(4;3),C(3;4).Найти его периметр.

6. Дан треугольник АВС, А(-4;1), В(-2;4), С(0;1).Доказать, что данный треугольник

равнобедренный.

7. Диагонали квадрата АВСД пересекаются в точке О. Найди угол между векторами:

а)

8. Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О, и диагональ ВД равна стороне

ромба. Найди угол между векторами:

а)

9. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла между данными векторами.

10. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла, образованного между векторами .

11. Найти угол между векторами

12. Найти угол между векторами , если R(0;3), O(6;-1), L(5;0), P(9;4).

Вариант №1 1. Даны векторы {2; - 4; 3} и {-3; 1/2;1}. Найдите координаты вектора . 2. Даны векторы {1; -2; 0}, {3;-6; 0}и {0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора . 3. Найдите значения m,при которых векторы {6; n;1}, { m; 16; 2} коллинеарны.	Вариант №2 1. Даны векторы {1; -3; -1} и {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора . 2. Даны векторы {2; 4; -6}, {- 3; 1; 0} и {3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора . 3. Найдите значения т ип, при которых векторы {- 4; т; 2} и {m; - 6; 2} коллинеарны.
4. Даны векторы и . Найдите .	4. Даны векторы и . Найдите .
5. Даны точки , , . Найти угол между векторами и .	5. Даны точки , , . Найти угол между векторами и .
6. Вычислить скалярное произведение векторов и , если , , ; ; ; _┴ ,_┴_.	6. Вычислить скалярное произведение векторов и , если , , ; ; ; _┴ ,_┴_.
7. Дан куб . Найдите угол между прямыми и , где - середина ребра .	7. Дан куб . Найдите угол между прямыми и .