Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)
Математический анализ.
Лекция1.
Кванторы.
Первое и самое главное кванторы – они используются для сокращенной записи и если их не знать, то будет трудно воспринимать математический текст. 
{\displaystyle \exists }
{\displaystyle \exists }0022
- Перевернутая Е – квантор существования – заменяет в математической записи слово существует
- Перевернутая А – квантор всеобщности – заменяет в математической записи слова: для каждого; для любого; любой; каждый.
Теорема: Справедливы следующие эквиваленции
Что они означают? Они означают, что отрицание квантора – равносильно другому квантору. Доказывается эта теорема интуитивно.
Теперь перейдем к темам. Тема этой лекции – основы математической логики и основы теории множеств. Все эти темы по-хорошему проходятся в курсе дискретной математики (математической логики) во втором семестре, но обрывки из этого курса нам нужны сейчас, так что поехали.
Тема1. Основы математической логики.
Определение: Утверждение, относительно которого известно истинно оно или ложно называется высказыванием.
Примеры:
1) 2+2=4 – истинное высказывание
2) 2+2=1 – ложное высказывание (в кольце вычетов по модулю 3 – становится истинным)
3) Путин президент России в 2020 году – истинное высказывание
4) Мы завалим сессию – утверждение (мы не можем знать наперед ложно оно или истинно)
Также в математике используются значения из двоичной системы: 0- ложь, 1- истинна.
|
|
|
Операции математической логики:
Отрицание высказывания
Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ 
(также записывается как верхнее подчеркивание)
Отрицанием высказывания 
называется высказывание 
(читается «не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно:
Так, например, высказывание 
– черепахи не летают истинно: 
,
а его отрицание 
– черепахи летают если хорошенько пнуть – ложно: 
;
Конъюнкция (логическое умножение высказываний)
Данной операции соответствует логическая связка И и символ 
либо 
Конъюнкцией высказываний и 
называют высказывание 
(читается «а и бэ»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания и :
Данная операция тоже встречается сплошь и рядом. Вернёмся к нашему герою с первой парты: предположим, что Петя получает допуск к экзамену по высшей математике, если сдаёт курсовую работу и зачёт по теме. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя сдал курсовую работу;
– Петя сдал зачёт.
Заметьте, что в отличие от формулировки «Петя завтра сдаст» здесь уже в любой момент времени можно сказать, истина это или ложь.
Высказывание 
(суть – Петя допущен к экзамену) будет истинно в том и только том случае, если он сдал курсовик 
и зачёт по 
. Если хоть что-то не сдано, то конъюнкция – ложна.
|
|
|
Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)
Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ и символ 
Дизъюнкцией высказываний и называют высказывание 
(читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания и :
4) Импликация и логическое следствие.
Необходимое условие. Достаточное условие
До боли знакомые обороты: «следовательно», «из этого следует это», «если, то» и т. п.
Импликацией высказываний (посылка) и (следствие) называют высказывание 
, которое ложно в единственном случае – когда истинно, а – ложно:
Фундаментальный смысл операции таков (читаем и просматриваем таблицу сверху вниз):
из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;
изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки), при этом:
истинность посылки является достаточным условием для истинности заключения ,
а истинность заключения – является необходимым условием для истинности посылки .
Разбираемся на конкретном примере:
Составим импликацию высказываний 
– идёт дождь и 
– на улице сыро:
Если оба высказывания истинны 
, то само собой истинна и импликация 
– если на улице идёт дождь, то на улице сыро. При этом не может быть такого, чтобы дождь шёл 
, а на улице было сухо 
:
|
|
|
Если же дождя нет 
, то на улице может быть как сухо :
так и сыро 
:
(например, по причине того, что растаял снег).
5) Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие
Эквиваленция обозначается значком 
и читается «тогда и только тогда»
Наверное, многие догадываются, что это за операция:
Эквиваленцией высказываний и называют высказывание 
, которое истинно в том и только том случае, когда высказывания и истинны или ложны одновременно:
Данная операция естественным образом выражается формулой 
– «из, а следует бэ и из бэ следует а».
Предположим, что Петя вышел на финишную черту сессии, и ему осталось сдать 3 экзамена:
– три экзамена сданы;
– сессия успешно завершена.
Очевидно, что при описанных выше обстоятельствах эти высказывания эквиваленты:
– сессия успешно завершена тогда и только тогда, когда сдано 3 экзамена.
порядок выполнения логических операций:
– в первую очередь выполняется отрицание ;
– во вторую очередь – конъюнкция ;
– затем – дизъюнкция ;
– потом импликация 
;
– и, наконец, низший приоритет имеет эквиваленция .
|
|
|
Так, например, запись a b c подразумевает, что сначала нужно осуществить логическое умножение a b, а затем – логическое сложение: (a b) c. Прямо как в «обычной» алгебре – «сначала умножаем, а затем складываем».
Порядок действий можно изменить привычным способом – скобками:
a (b c) – здесь в первую очередь выполняется дизъюнкция 
и только потом более «сильная» операция.
Свойства логических операций
Закон двойного отрицания
Ну а здесь уже напрашивается пример с русским языком – все прекрасно знают, что две частицы «не» означают «да».
Теорема Де Моргана
(отрицание можно писать, как верхнее подчеркивание)
Свойство импликации
=
( ) = ( )
Все свойства можно доказать (в том числе и с помощью таблиц истинности, но мы этого делать не будем). Мы будем двигаться к следующей теме.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 85; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!