Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом 
, необхідно цей вираз продиференціювати по х, вважаючи у функцією від х, і з одержаної рівності знайти 
.
Похідна функції
яка задана параметрично, обчислюється за формулою:
за умови, що 
диференційовні в точці 
функції, причому 
.
Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням 
.
Розв’язання. Диференціюючи, дістанемо:
відкіля
Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно
.
Розв’язання. Диференціюючи, маємо
З цього рівняння знаходимо 
:
Приклад 3. Знайти 
, якщо 
.
Розв’язання.
Приклад 4. Знайти в точці 
похідну 
функції, яка задана параметрично:
Розв’язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:
Таким чином,
Приклад 5. Знайти 
, якщо 
.
Розв’язання.
Тренувальні вправи
Знайти похідні функцій, які задані неявно:
1. 
. 
2. 
. 
3. 
. 
4. 
. 
5. 
. 
6. 
. 
7. 
. 
8. 
. 
9. Знайти в точці М (1, 1), якщо 
. 
10. Знайти 
при 
, якщо 
. 
11. 
. 
12. 
. 
13. 
. 
14. 
. 
15. 
. 
16. 
. 
17. 
. 
18. 
. 
19*. 
. 
20. 
. 
Знайти похідну функції, яка задана параметрично:
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37*. 
Логарифмічне диференціювання
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
Приклад 1. Знайти похідну функції 
.
Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
звідки
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
.
Приклад 2. Продиференціювати функцію:
Розв’язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Дійсно,
Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:
Тоді
Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
Геометричний зміст похідної
Похідна функції 
для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто
,
де 
– кут, який утворює дотична до графіка функції в точці 
з додатним напрямком осі 
.
На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції 
записується таким чином:
Якщо неперервна функція в точці 
має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці 
буде пряма 
.
Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику 
, перпендикулярно до дотичної (пряма 
), рівняння має вигляд 
У випадку 
нормаллю буде пряма 
; якщо функція в точці 
має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма 
.
У деяких задачах потрібно знайти кут 
між кривими 
та 
в їх точці перетинання.
Кутом 
між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; 
обчислюється за формулою:
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:
а) відрізок дотичної 
:
б) відрізок нормалі 
:
в) піддотична ТК:
г) піднормаль 
:
Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція 
перетинає вісь абсцис.
Розв’язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках 
. Якщо 
, тоді
,
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках 
графік функції 
перетинає вісь абсцис під кутом 
.
Якщо 
, тоді 
. Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь 
під кутом 
.
Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої
в точці 
.
Розв’язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці 
:
Отже, отримаємо рівняння дотичної:
або 
Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: 
в точці 
.
Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:
Значення 
та 
відповідають значенню 
:
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
.
В точці 
маємо 
. Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді
, або 
.
Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої 
у точці 
.
Розв’язання. Значення похідної даної функції в точці А:
Рівняння дотичної:
Рівняння нормалі:
Фізичний зміст похідної
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:
1) при русі тіла швидкість 
в даний момент часу 
є похідною від шляху 
: 
2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі 
кутова швидкість 
в даний момент часу 
є похідною від кута повороту 
:
3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу 
є похідною від температури
4) теплоємність С для даної температури є похідною від кількості тепла 
:
5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення 
при даному значенні температури 
є похідною від довжини 
:
Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням 
, наприкінці третьої та десятої секунд.
Розв’язання. Швидкість визначається за формулою
Коли 
, маємо 
(м/с).
Коли 
, маємо 
(м/с).
Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса 
, оббігаючи коло за час 
.
Розв’язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час вона дійшла до положення 
.
Кут між її радіусом-вектором та віссю дорівнює в цей час 
, тому що точка проходить кут 
за час Т, кут 
– за одиницю часу і кут – за час .
Отже, в будь-який момент положення точки можна визначити через її дві координати:
Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:
Тоді швидкість точки буде:
Диференціал функції
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.
Диференціалом функції в точці х називається головна (лінійна відносно 
) частина приросту 
диференційовної в точці х функції.
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто
Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:
Тоді формула диференціала має вигляд
відкіля
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 373; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!