Кручение стержня круглого сечения. Напряжения. Расчеты на прочность.

Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется частный случай двухосного напряженного состояния, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения. На основании закона парности касательных напряжений , и в дальнейшем индексы у касательных напряжений будем опускать. На рис. 6.1,а показан малый элемент под воздействием касательных напряжений, на рис. 6.1,б – его упрощенное изображение.

Рис. 6.1. Малый элемент под действием касательных напряжений

Под действиемкасательных напряжений рассматриваемый элемент деформируется. Если первоначально элемент имеет форму прямоугольника, то в деформированном состоянии он становится параллелограммом (рис. 6.2). В соответствии с ранее данным определением угловая деформация g равна величине изменения первоначально прямого угла.

При испытании стальных образцов на сдвиг диаграмма – подобна диаграмме - , получаемой при растяжении. На диаграмме сдвига имеются характерные точки – предел пропорциональности при сдвиге и предел текучести при сдвиге . При напряжениях, меньших , справедлива линейная зависимость

(6.1)

Зависимость (6.1) называется законом Гука при сдвиге, а коэффициент пропорциональности носит название модуля упругости при сдвиге.Модуль может быть определен из опыта и является третьей упругой характеристикой материала. Напомним, что первыми двумя являются модуль упругости и коэффициент Пуассона . Все эти три характеристики называют константами упругости, они описывают деформационные свойства материалов в упругой области, в то время, как предел текучести или временное сопротивление характеризуют прочностные свойства. Три перечисленные константы упругости , и связаны соотношением

(6.2)

Для малоуглеродистой стали, при МПа и получим МПа.

Кручение стержня круглого сечения. Внутренние усилия.

Кручением называется такой вид напряженно-деформированного состояния стержня, при котором внешними нагрузками являются сосредоточенные (М) или распределенные по длине (m) скручивающие моменты (рис.6.3). Сосредоточенные моменты измеряются в кН×м, а распределенные – в .

Рис. 6.3. Внешние нагрузки при кручении стержня (а);

внутреннее усилие – крутящий момент (б)

При кручении в поперечных сечениях стержня из шести внутренних усилий отличными от нулябудут только крутящие моменты .

Примем следующее правило знаков для крутящих моментов: момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен по направлению часовой стрелки (рис. 7.3, б). В учебной литературе встречается и другое правило знаков, когда положительный крутящий момент направлен против часовой стрелки. Знак крутящего момента не имеет значения с точки зрения прочности. Он вызывает появление в поперечном сечении касательных напряжений, а прочность на сдвиг не зависит от направления их действия.

Для определения опасного сечения, т.е. сечения, где действует наибольший крутящий момент, необходимо построить эпюру крутящих моментов. Опасным будет являться сечение с наибольшим изгибающим моментом.

Подставляя в это равенство значения и , вычислим значения в этих точках и построим эпюру крутящих моментов. Наибольший крутящий момент возникает в заделке, где и будет наиболее опасное сечение. Анализируя эпюру крутящих моментов можно заметить, что на участках, где не действует распределенный момент М_к = const, а на участках с равномерно распределенным моментом m = const, М_к – линейная функция.

Заметим, опуская вывод, что при кручении оказывается справедливой дифференциальная зависимость

(6.3)

Из (6.3) следует:

1. На участках, где нет распределенного скручивающего момента, т.е. m=0 имеем М_к = const;

2. На участках с равномерно распределенным моментом m = const, М_к – линейная функция.

Аналогично тому, как это было показано при построении эпюры продольных сил, крутящий момент можно определять суммированием скручивающих моментов, расположенных с одной стороны от сечения:

(6.4)

Совмещение формул (6.3) и (6.4) даст возможность, зная вид графика функции крутящего момента, определять его значения в характерных сечениях, причем на участках с постоянным значением функции можно выполнить одно сечение, а на участках с линейной функцией – найти значения в двух сечениях. И в том и другом случае на участках будут прямые линии, которыми и соединяются значения в характерных сечениях.

Кручение стержня круглого сечения. Напряжения. Расчеты на прочность.

При выводе формулы для касательных напряжений будут использоваться две гипотезы. Первая – гипотеза плоских сечений, которая в данном случае формулируется следующим образом. Сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации, лишь поворачиваясь относительно оси. Угол закручивания обозначим . Очевидно, что . Так, например, в стержне, показанном на рис. 6.5,уголзакручивания в заделке будет равен нулю, ана свободном конце, где приложен момент, он будет наибольшим.

Рис. 6.5. Углы поворота сечений при кручении круглого стержня

В соответствии со второй гипотезой предполагается, что при закручивании стержня радиусы в сечениях остаются прямыми.

Элементарный крутящий момент равен (рис. 6.6, а):

(6.5)

Интегрируем полученное выражение по площади сечения.

(6.6)

Рис. 6.6. Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения

При кручении стержня круглого сечения предполагается, что направление в каждой точке перпендикулярно радиусу (рис. 6.6, а). Используя закон парности касательных напряжений, можно показать, что вблизи контура сечения касательные напряжения действительно перпендикулярны радиусу (рис. 6.6, б). Произвольно направленное касательное напряжение можно разложить по двум направлениям: вдоль радиуса – и вдоль касательной к контуру сечения – Тогда в соответствии с законом парности касательных напряжений на площадке находящейся на внешней поверхности стержня и перпендикулярной площадке должно также действовать напряжение Однако, поскольку на внешней поверхности сдвиговые усилия отсутствуют , то в сечении вблизи контура действует только напряжение перпендикулярное радиусу.

Для определения функции рассмотрим деформации вырезанного из стержня элемента длиной (рис. 6.7).Правое сечение повернется относительно левого сечения на угол . На рис. 6.7,а показан цилиндрический слой на расстоянии от центра тяжести. Под действием касательных напряжений он деформируется, его продольные грани поворачиваются на угол , и этот угол является угловой деформацией. Учитывая бесконечно малые размеры элемента, можно считать, что он деформируется как плоский элемент, находящийся в условиях чистого сдвига. Вычислим деформацию (рис. 6.7,б) (ввиду малости угла, его можно приравнять его тангенсу).

(6.7)

Рис. 6.7. К выводу формулы для касательных напряжений

Из закона Гука при сдвиге (6.1), используя (6.7), найдем касательные напряжения для произвольного слоя произвольного радиуса r.

(6.8)

Подставив полученное выражение в (7.6), получим:

(6.9)

Входящий в эту формулу интеграл является полярным моментом инерции сечения . Используя это обозначение, найдем выражение для :

(6.10)

Подставляя полученное выражение в (6.8), приходим к окончательной формуле для касательных напряжений при кручении стержня круглого сечения:

(6.11)

Характер распределения касательных напряжений в круглом сечении показан на рис. 6.8, а. Также по линейному закону распределены напряжения и в кольцевом сечении (рис. 6.8, б). Максимальные напряжения в обоих сечениях действуют на площадках вблизи внешнего контура.

Рис. 6.8. Касательные напряжения в круглом (а) и кольцевом (б) сечениях

Знание максимальных напряжений необходимо для проведения расчетов на прочность при кручении. Формула расчета на прочность по строительным нормам для стальных стержней при действии касательных напряжений имеет вид:

(6.12,а)

где: – расчетное сопротивление материала на срез; эта величина определяется по формуле (СП16.13330.2011 Стальные конструкции), где – расчетное сопротивление стали по пределу текучести; – коэффициент условий работы.

При расчете стальных деталей в машиностроительных нормах применяется условие прочности:

(6.12,б)

где – допускаемое касательное напряжение.

Максимальные расчетные напряжения можно получить из (6.10), положив :

(6.13)

где – расчетный крутящий момент, определенный из эпюры моментов.

Введем новую геометрическую характеристику сечения

(6.14)

которая называется полярным моментом сопротивления сечения.

Используя это обозначение, вместо (6.13) получим

(6.15)

и формула расчета на прочность принимает следующий вид:

По строительным нормам:

(6.16,а)

По машиностроительным нормам:

(6.16,б)

Отметим, что по строительным нормам в числителе условия прочности (6.16,а) должен находиться расчетный крутящий момент, полученный от расчетных нагрузок (определенных с учетом коэффициентов надежности по нагрузке g_f и коэффициента надежности по ответственности g_n).

Приведем формулы для вычисления полярных моментов инерции и полярных моментов сопротивления для круглого и кольцевого сечений

Для круглого сечения диаметром d = 2r:

(6.17,а)

Для кольцевого сечения внешним диаметром d=2r, внутренним диаметром d₁=2r₁при отношении диаметров :

(6.17,б)

Следует напомнить, что полярные моменты сопротивления не являются, в отличие от моментов инерции, аддитивными функциями (т.е. для составных сечений они не складываются и не вычитаются) и их следует определять на основании формулы (6.14).

С помощью формул (6.16,а) и (6.16,б) обычно решают три основные задачи при заданном материале: подбирают сечение при известных расчетных нагрузках, проверяют прочность стержня, а также определяют допускаемый крутящий момент M_к, то есть подбирают нагрузку. Можно также выбрать достаточно прочный материал (определить необходимое значение R_s), если нагрузки и размеры сечения заданы.

Например, если нужно подобрать сечение из расчета на прочность по строительным нормам, используя (6.16,а), (6.17) и (6.18) получим следующие формулы.

Для сплошного сечения:

(6.18,а)

Для кольца с соотношением внутреннего диаметра к внешнему :

(6.18,б)

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 1240; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!