Примеры решения типовых задач
Рассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов.
Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: . Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях этого равенства.
При .
При .
При .
Тогда и .
Далее находим неопределённый интеграл:
II метод – метод частных значений.
Придадим аргументу столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя.
,
,
. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: . Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: . Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу последовательно значения –1, 1, 0. Получим систему: , откуда и . Таким образом: .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Выделим целую часть дроби:
.
Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:
|
|
. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.
При .
При .
При . Тогда и
. Итак, вычислим неопределённый интеграл: .
Задания для самостоятельной работы
7.5. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен:
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) . |
7.6. Вычислить интегралы от рациональных функций:
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) | з) . |
Ответы
7.5 a) arctg (x+2)+С; б) ; в) ln + ; г) ; д)arctg(2x+1)+С; е) ; ж) ; з) ). 7.6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)3ln(x+2)– ; з)
7.3. Интегрирование некоторых тригонометрических и
иррациональных функций
Краткие теоретические сведения
В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через будем обозначать рациональные функции.
Интегрирование тригонометрических функций
I. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки .В этом случае .
|
|
Подставляя в подынтегральное выражение вместо их выражения через , , получим интеграл от рациональной дроби:
.
В случае, когда имеет место тождество
для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку . При этом .
Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .
Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .
II. Для отыскания интегралов вида
используют следующие формулы:
При нахождении интегралов вида возможны следующие случаи:
1) хотя бы одно из чисел или – нечетное, например , тогда
2) оба числа или – четные, тогда рекомендуется использовать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригонометрических функций: ,
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!