Второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентам называется уравнение вида:
у ² + p y ¢ + qy = 0,
где p , q – постоянные величины.
Для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка формулируется задачаКоши :
найти решение у = у(х) уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям у(х 0) = у 0, у ¢ (х0) = у ¢ 0 . Это значит, что при любых начальных данных х 0 ,у 0 ,у ¢ 0 существует единственное решение у = у(х) дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
Решение данного дифференциального уравнения находится в виде линейной комбинации двух частных решений :
у = С1у 1+ С 2 у2 .
Эта линейная комбинация называется общимрешением.
Частное решение ищется в виде у = ℮ kx ,где k = const.
Продифференцировав частное решение и подставив первую и вторую производные в дифференциальное уравнение, получим:
℮ kx (k 2+ pk + q) = 0
Так как ℮ kx ≠ 0, то
k 2 + pk + q = 0 – характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения.
Решив характеристическое уравнение, найдем его корни и запишем два частных решения.
При решении характеристического уравнения возможны три случая.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: k 1 ≠ k 2 . В этом случае имеем два частных решения. Общее решение уравнения имеет вид:
|
|
y = С1 ℮ + С 2 ℮
Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные:
k 1 = k 2 . В этом случае находится одно частное решение. Общее решение уравнения имеет вид:
у = ℮ kx ( С1 + С 2х)
Случай 3. В третьем случае корни характеристического уравнения комплексные числа.
k 1 = a + bi k 2 = a - bi
Общее решение уравнения имеет вид:
у= ℮ ax ( C 1 cos bx + C 2 sin bx ).
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний является дифференциальным уравнением второго порядка и широко встречается на практике. Решение дифференциального уравнения гармонических колебаний имеет
вид:
х = А sin ( w t + j ), где А – амплитуда колебаний, w - частота колебаний, j - начальная фаза гармонического колебания.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 117; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!