Параметры многоканальной СМО с ожиданием
Без ограничения на длину очереди и с ограничением на время
Ожидания в очереди
| № n/n | Параметры | Обозначения, |
| 1 | Число каналов обслуживания | 
|
| 2 | Интенсивность входящего простейшего потока Пвх | in 
(λ не зависит от времени)
|
| 3 | Производительность каждого канала – интенсивность простейшего потока обслуживаний Поб каждым каналом (среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе) | in 
(μ не зависит от времени)
|
| 4 | Максимальное число мест в очереди | 
|
| 5 | Ограничение на время ожидания заявки в очереди | Случайное время 
|
| 6 | Среднее значение ограничения времени заявки в очереди | 
|
| 7 | Интенсивность простейшего потока уходов заявки из очереди Пух | in  (ω не зависит от времени)
|
Характеристики функционирования многоканальной СМО
С ожиданием без ограничения на длину очереди
И с ограничением на время ожидания в очереди
| № n/n | Предельные характеристики | Обозначения, формулы |
| 1 | Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик) | 
|
| 2 | Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал | 
|
| 3 | Приведенная интенсивность потока «уходов» | 
|
| 4 | Вероятность того, что все n каналов свободны (вероятность простаивания всей системы) | 
|
| 5 | Вероятность состояний | 
|
| 6 | Среднее число заявок в очереди | 
|
| 7 | Среднее число заявок под обслуживанием (т.е. среднее число занятых каналов) | 
|
| 8 | Среднее число заявок в системе | 
|
| 9 | Абсолютная пропускная способность | 
|
| 10 | Относительная пропускная способность | 
|
| 11 | Вероятность того, что заявка будет обслужена |
|
| 12 | Вероятность ухода заявки из очереди необслуженной | 
|
| 13 | Среднее время ожидания заявки в очередь | 
|
| 14 | Среднее время пребывания заявки в системе | 
|
| 15 | Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам – как обслуженным, так и ушедшим из очереди необслуженными | 
|
| 16 | Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам | 
|
Многоканальная СМО с ограниченной очередью
|
|
|
Расчеты основных показателей функционирования системы, имеющей n каналов обслуживания, с ограничением мест в очереди, проводятся аналогично тем, которые были сделаны для системы с неограниченной очередью. Особенностью функционирования систем с ограничением длины очереди является конечное число состояний системы.
Пусть на каналы обслуживания поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Поток обслуживания, поступающий с одного канала, также простейший и имеет интенсивность μ. Число мест в очереди ограничено и равно т.
|
|
|
По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы:
S 0 - состояние простоя;
……….
S п - состояние системы, когда все каналы заняты обслуживанием;
S п+1 - все каналы заняты, одна заявка находится в очереди;
S п+т - в очереди т заявок.
Так как потоки заявок и обслуживания ординарны, граф состояний изображается в виде схемы гибели и размножения. Отличие от подобной схемы для неограниченной очереди состоит только в том, что число состояний конечно. Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 7:
Рисунок 7- Многоканальная СМО с ограниченной очередью.
Составим систему алгебраических уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний:
(69)
Откуда получим формулы Эрланга для многоканальной системы с ограниченной очередью:
(70)
Последние т слагаемых в скобках представляют собой сумму т первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n которая равна :
(71)
|
|
|
Таким образом, для вычисления р0 получим формулу:
(72)
Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:
(73)
Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.
Число каналов, которые необходимо иметь, чтобы система справлялась с потоком заявок, определим из условия
(74)
В этом случае выполняется соотношение ρ < 1.
Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему все nее каналов будут заняты, и в очереди заняты все mмест:
(75)
Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события:
(76)
Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженных системой в единицу времени:
(77)
|
|
|
Так как каждый канал обслуживает μзаявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:
(78)
Среднее время обслуживания каналом одной заявки:
(79)
Среднее число заявок в очереди:
(80)
Среднее число заявок под обслуживанием равно среднему числу занятых каналов:
(81)
Среднее число заявок в системе (под обслуживанием и в очереди) равно:
(82)
Многоканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.
Пример 8:
Площадка АЗС вмещает не более 3-х машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Интенсивность потока обслуживания λ=0,5 машин в минуту. Интенсивность потока обслуживания μ=0,4 машины в минуту. Определить все характеристики СМО.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 1048; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!