Исследование устойчивости систем автоматического регулирования по амплитудно-фазовой частотной и логарифмическим характеристикам
Цель работы: освоение методов исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста на основе построения АФЧХ и логарифмических амплитудной (ЛАХ) и фазовой (ЛФХ) характеристик.
Теоретическая часть
Частотный критерий Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой САУ по амплитудно-фазовой частотной характеристике WP(jw) ее разомкнутой цепи, если удовлетворяется условие
lim|WP(jw) | =С. (*)
w®¥
При этом под термином "замкнутая САУ" понимается САУ, приведенная к одному динамическому звену с передаточной функцией WP(s) в прямой цепи, охваченному единичной отрицательной обратной связью (рис.6).
Для удовлетворения условия (*) степень m числителя передаточной функции WP(jw)разомкнутой системы не должна быть выше степени n ее знаменателя, что выполняется для любых реальных систем.
На первом этапе необходимо определить устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянии. В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы.
X (s) WP(s) Y (s)
|
|
Рис. 6.
Различают три случая применения критерия Найквиста.
1. Разомкнутая система устойчивая. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами [-1; j0].
Рис. 7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых
разомкнутых систем
На рис.7 изображены возможные ситуации. При АФЧХ, показанной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива, т. е. она остаётся устойчива и при уменьшении передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Если АФЧХ является кривая 2, то замкнутая система условно устойчива. Она остается устойчивой только при значении k, лежащем в некоторых пределах. Кривая 3 проходит через критическую точку с координатами [-1; j0]. Это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчивая.
Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней k ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части.
2. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой разомкнутой САУ имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ при изменении w от 0 до ¥, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса (по часовой стрелке), не охватывала точку с координатами [-1; j0].
|
|
3. Разомкнутая система не устойчивая. Характеристический полином такой САУ имеет k корней с положительной вещественной частью. В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста формулируют так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до ¥ вектор, начало которого находится в точке с координатами [-1; j0], а конец на АФЧХ разомкнутой системы, повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол k• 180°.
При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее применять другую формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении w через отрезок вещественной оси от -1 до ¥ сверху вниз считают положительным и снизу вверх отрицательным (рис.8). АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при w = 0 или заканчиваться при w = ¥. Тогда считается, что она совершает полперехода.
|
|
Рис.8. Обозначение знака перехода АФЧХ через отрезок вещественной оси от - 1 до - ¥
Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до - ¥ равен k/2. Здесь k — число корней характеристического полинома разомкнутой системы с положительной частью.
При наличии у характеристического полинома нулевых и чисто мнимых корней АФЧХ на участках разрыва должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.
Для применения критерия Найквиста исследуемая система может быть разомкнута в любой точке, т.е. может быть разомкнута не главная обратная связь,
а одна из местных обратных связей.
При использовании критерия устойчивости Найквиста по АФЧХ о запасе устойчивости САУ можно судить по степени удалённости годографа WP(jw) от точки с координатами [-1; j0].
Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Основное удобство применения критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что он легко переносится на логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, которые, в свою очередь, могут быть легко построены, особенно в том случае, если разомкнутая САУ представляется в виде совокупности последовательно соединенных типовых динамических звеньев.
|
|
Применительно к ЛАФЧХ критерий может быть сформирован так: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАХ (L(w)>0) разность между числом положительных и отрицательных переходов ФЧХ через линии -1800; 3´1800… равнялась k/2, где k - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой САУ. Пересечение ФЧХ линий -180; 3´180… снизу вверх считается положительным переходом, а сверху вниз - отрицательным.
Из анализа графиков рис.9 видно, что разность между положительными и отрицательными переходами ЛФХ через -1800 при L(w)>0 равна +1. Таким образом, если знаменатель передаточной функции WP(s) имел 2 “плохих” корня (k=2), то замкнутая система будет устойчива.
Рис. 9. Логарифмические частотные характеристики неустойчивой
(k= 2) разомкнутой системы
Типичные логарифмические характеристики разомкнутой САУ приведены на рис.10.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 325; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!