Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1
Задание
Вычислите неопределенный интеграл .
Решение
Предварительно заполните таблицу, подобрав к алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 | Использовать свойства неопре-деленного интеграла | Используя свойство 1, заменим интеграл суммы функций суммой интегралов: . Используя свойство 2, выносим постоянные за знак интеграла: |
2 | Использовать таблицу основных интегралов и вычислить име-ющиеся неопределенные интег-ралы | (п. II); (п. II); (п. XII); a = 3 |
3 | Записать ответ | , где |
Найдите самостоятельно следующие интегралы:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2
Задание
Методом замены переменной найдите интегралы
а) и б) .
Решение
Предварительно заполните таблицу, подобрав к алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
Случай а) .
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 | Подобрать замену переменной | x = t2 |
2 | Выразить подынтегральную функ-цию через новую переменную | |
3 | Выразить dx через t и dt | dx = 2tdt |
4 | Записать интеграл по формуле замены переменной | |
5 | Применить основные свойства неоп-ределенного интеграла и восполь-зоваться таблицей основных интегралов | Используем свойство линейности и табличный интеграл (VI) |
6 | Вернуться от переменной t к исходной переменной x | Подставим в найденное выражение : |
|
|
В итоге, на основании выполнения алгоритма, решение можно записать в виде
.
Случай б) .
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 | Подобрать замену переменной | 1 – 2x = t |
2 | Выразить подынтегральную функ-цию через новую переменную | |
3 | Выразить dx через t и dt |
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
4 | Записать интеграл по формуле замены переменной | |
5 | Применить основные свойства неоп-ределенного интеграла и восполь-зоваться таблицей основных интегралов | Используем свойство линейности и табличный интеграл (II) |
6 | Вернуться от переменной t к исходной переменной x | Подставим в найденное выражение t = 1 – 2x: |
В результате проделанного анализа решение можно записать в виде
.
Найдите самостоятельно методом замены переменной следующие интегралы:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
|
|
Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3
Задание
Интегрированием по частям найдите интегралы:
а) , б) .
Решение
Предварительно заполните таблицу, подобрав к алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
Случай а) .
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 | Подставить подынтегральное выра-жение f(x)dx в виде произведения u(x)dv(x) | Полагаем u = x + 1, dv = sinxdx. Тогда |
2 | Найти du и v | , |
3 | Применить формулу интегрирова-ния по частям | |
4 | Найти интеграл | |
5 | Подставить результат в найденное в пункте (3) выражение |
Решение теперь можно записать в виде
Случай б) .
№ п/п | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 | Представить подынтегральное выра-жение f(x)dx в виде произведения u(x)dv(x) | Полагаем . Тогда |
2 | Найти du и v | |
3 | Применить формулу интегрирования по частям | |
4 | Найти интеграл | |
5 | Подставить результат в найденное в пункте (3) выражение |
Решение можно записать в виде
.
Найдите самостоятельно интегрированием по частям следующие интегралы:
|
|
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 179; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!