Проверка статистических гипотез

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Под статической гипотезой понимают всякое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статические гипотезы классифицируют на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения. Так, например, гипотеза о том, что производительность труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых организационно-технических условиях , имеет нормальный закон распределения, является гипотезой о законе распределения. Гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимых на однотипных , параллельно работающих станках, не различаются между собой, является гипотезой о параметрах распределения.

Одну и гипотез выделяют в качестве основной и обозначают Н₀. Вместе с основной всегда рассматривается альтернативная ( конкурирующая) гипотеза, которая обозначается Н₁. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи. На основе статических данных очень трудно, а иногда и невозможно сделать безошибочные выводы. Ошибки при проверке гипотез бывают 2-х родов (видов) :

- ошибка 1-го рода состоит в том, что отклоняется гипотеза Н₀в то время как она верна;

- ошибка 2-го рода состоит в том, что отклоняется альтернативная гипотеза в то время как она верна;

При проверке статических гипотез на основе статистических данных важно найти такой способ, чтобы вероятность ошибок была минимальна. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀ , называется критерием К. Проверка статических гипотез основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятное событие считается невозможным, а событие, имеющее большую вероятность – достоверным. Этот принцип реализуется следующим образом: фиксируется некоторая вероятность a с наиболее распространенным уровнем значимости 0,05; 0,01; 0,25; 0,001, затем подбирается некоторая статистика z, которая формально отражает смысл гипотезы и распределение которой известно. Пусть V – множество значений статистики z. Все множество значений статистики z можно разбить на два подмножества, таких, что:

- проверяемая гипотеза должна быть отвергнута, если значение z попадает в одно из подмножеств, которое называется критической областью V . При условии истинности гипотезы Н₀ вероятность попадания статистики в V равна a, т.е. .

- проверяемая гипотеза Н₀должна быть принята, если значение z попадает в подмножество V \ V .Это подмножество называется областью допустимых значений.

Обозначим выборочное значение статистики z , вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется следующим образом : отклонить гипотезу Н₀, если ;принять гипотезу Н₀ , если . Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости. Уровень значимости a определяет «размер» критической области V .

Основные задачи при проверке статистических гипотез сводятся к отысканию критической области и области допустимых значений с некоторой заданной вероятностью.

Положение критической области V_k на множестве значений статистики z_в зависит от альтернативной гипотезы Н₁.

Пусть f(z/ Н₀) плотность распределения статистики z критерия при условии, что верна гипотеза Н₀. Проверяется гипотеза , альтернативная

. Положение критической области показано на Рис. 7.

Рис. 7.

Граница критической области - квантиль распределения статистики f(z/ Н₀).

Теперь пусть альтернативная . Расположение критической области в этом случае показано на Рис. 8. В рассмотренных случаях критерий называется односторонним. При альтернативной критическая область показана на Рис.9. Критерий в этом случае называется двусторонним. -

квантили распределения статистики f(z/ Н₀).

Рис. 8.

Рис. 9.

Таким образом, проверка статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1) сформулировать проверяемую Н₀ и альтернативную Н₁ гипотезы;

2) выбрать уровень значимости ;

3) выбрать статистику z критерия для проверки гипотезы Н₀;

4) определить выборочное распределение статистики z при условии, что верна гипотеза Н₀;

5) в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область V одним из неравенств или совокупностью неравенств ;

6) получить выборку наблюдений и вычислить статистики критерия;

7) принять статистическое решение:

если , то отклонить гипотезу Н₀ как не согласующуюся с результатами наблюдений;

если , то принять гипотезу Н₀, т.е. считать, что гипотеза Н₀ не противоречит результатам наблюдений.

Замечание. Обычно на этапах 4) – 7) используют статистику , квантили которой табулированы , т.е. имеются таблицы квантилей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть наблюдаются случайные величины, каждая из которых подчиняется нормальному распределению

Пусть имеется две независимые выборки объемами n и n :

Проверим гипотезу, заключающуюся в том , что математические ожидания обеих случайных величин одинаковы в предположении, что -неизвестны и равны.

Итак,

Альтернативной может быть одна из гипотез:

Рассмотрим статистику

, (18)

где -оценки математического ожидания, вычисленные по формуле (8),

- оценки дисперсии, вычисленные по формуле (10). Эта статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Зададим уровень значимости и по выборочным данным вычислим значение статистику по формуле (17). Определим область принятия гипотезы Н₀:

при альтернативной ;

при альтернативной . По свойству квантилей распределения Стьюдента , тогда неравенство примет вид

, т. е.

Пример 4.

При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты (в кг. вещества за час работы):

Таблица 4

Агрегат А (x )	14,1 10,1 14,7 13,7 14,0
Агрегат В (y )	14,0 14,5 13,7 12,7 14,1

Можно ли считать что производительность обоих агрегатов одинакова в предположении, что обе выборки получены из нормальных совокупностей с одинаковой дисперсией?

В данном случае . Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, исходя из условия задачи:

Вычислим необходимые величины по формулам:

, , , .

Вспомогательные расчеты представим в таблице (5) .

Таблица 5

14,1

0,78

0,61

14,0

0,2

0,04

10,1

-3,22

10,37

14,5

0,7

0,49

14,7

1,38

1,90

13,7

-0,1

0,01

13,7

0,38

0,14

12,7

-1,1

1,21

14,0

0,68

0,46

14,1

0,3

0,09

66,6

13,48

69,0

1,84

Подставляя найденные значения в формулу (18), получим

Зададим и по таблице квантилей распределения Стьюдента находим:

0,55< 1,94

Отсюда следует, что гипотеза принимается, т.е. средняя производительность обоих агрегатов одинакова.

Проверим гипотезу, заключающуюся в том , что дисперсии обеих случайных величин одинаковы в предположении, что -неизвестны.

, альтернативной может быть одна из гипотез:

Рассмотрим статистику

z = (19)

- точечные оценки , полученные по формуле (10).

Заметим, что всегда можно так ввести обозначения, что окажется , таким образом , z должно быть не меньше единицы. Статистика (19) имеет распределение Фишера с степенями свободы. Зададим уровень значимости и по выборочным данным вычислим значение статистику по формуле (18). Определим область принятия гипотезы Н₀:

при альтернативной ;

при альтернативной . По свойству квантилей распределения Фишера , тогда неравенство примет вид , что эквивалентно неравенству .

Гипотеза о равенстве дисперсий обычно применяется тогда, когда нужно сравнить точность или риски.

Пример 5. Биржевой маклер исследует две инвестиции – А и В от имени клиента. Инвестиция А предполагается на срок 10 лет со ожидаемой средней ежегодной прибылью 17,8% и среднеквадратическим отклонением 3,21%. Инвестиция В рассчитана на срок 8 лет также с ожидаемой прибылью 17,8% и среднеквадратическим отклонением 7,14%. Можно ли считать, что риск инвестиции В больше, чем инвестиции А? Предполагается, что распределение ежегодных прибылей на инвестиции подчиняется нормальному распределению.

Дисперсия ежегодных прибылей может быть использована для определения риска. Поэтому задача сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий при альтернативной , т.е.

Вычислим оценки дисперсий по формуле (10)

Примем уровень значимости = 0,05.

Выборочная статистика z = . По таблице Приложения 5 найдем квантиль распределения Фишера

= = 3,29

5,09= z > =3,29.

Статистика z попадает в критическую область, следовательно, гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. есть основания считать, что риск инвестиции В больше, чем риск инвестиции А.

Лекция 18.

Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 470; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!