Параметрические методы проверки статистических гипотез
Для использования параметрических методов необходимы три условия: данные должны быть количественными, их число должно быть достаточным, а их распределение – нормальным. Во всех остальных случаях всегда рекомендуется использовать непараметрические методы.
Закон нормального распределения (закон Гаусса)
Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях [1, 7, 8].
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида
,
где 
– функция нормального распределения (плотность распределения вероятности); М – математическое ожидание; 
– среднее квадратическое отклонение.
Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный колокообразный вид (рис. 1). Максимальная ордината кривой, равная 
, соответствует точке 
; по мере удаления от точки M плотность распределения падает, и при 
кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.
Рис. 1. Кривая нормального распределения
Признаки нормального закона распределения:
|
|
|
1) большинство значений случайной величины группируется относительно математического ожидания; вероятность появления математического ожидания (среднего) максимальна;
2) вероятность появления меньших и больших значений относительно мала.
График функции имеет колокообразную форму, симметричный относительно математического ожидания.
Для выбора статистического метода исследования необходимо определить, подчиняется ли данная выборка объектов нормальному закону распределения. Рассмотрим один из способов.
Задача. Проверить, подчиняются ли количественные данные, полученные в результате измерения нормальному закону?
10 12 13 14 14 15 15 15 17 17 17 18 19 19 22
(данные необходимо проранжировать (упорядочить по возрастанию или убыванию значений)
1. Подсчитать общее количество значений n = 15
2. Составить таблицу
| X i | 10 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 18 | 19 | 22 | Σ |
| m i | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 | |
| P i | 1/15 | 1/15 | 1/15 | 2/15 | 3/15 | 3/15 | 1/15 | 2/15 | 1/15 | 1 |
3. Проверить условие нормировки 
4. Вычислить математическое ожидание 
М = 101/15 + 121/15 + 131/15 + 142/15 + 153/15 + 173/15 + 181/15 + 192/15 + 221/15 = 15,8
Необходимо отметить, что математическое ожидание случайной величины характеризует среднее значение.
|
|
|
5. Вычислить дисперсию 
для больших выборок (n >30) 
; для малых выборок (n ≤ 30) 
В нашем случае выборка малая n < 30 D = 131,94/14 = 9,42
Дисперсия характеризует разброс, рассеяние случайной величины относительно среднего.
6. Вычислить среднее квадратическое отклонение 
; = 3,07
7. Проверить «правило трёх сигм»
Так называемое «правило трёх сигм» известно в математической статистике как простой прием проверки распределения значений случайной величины на соответствие его нормальному распределению Гаусса. Считается, что если 68,27% от общего количества значений случайной величины (экспериментальных значений в педагогическом исследовании) попадают в полосу (М ± σ), 95,45% – в полосу (М ± 2σ) и 99,73% – в полосу (М ± 3σ), то данное множество экспериментальных данных распределено по нормальному закону (см. рис. 2).
12,73 (15,8 - 3,07) и 18,87 (15,8 + 3;07), в этот интервал попадает 10 значений, это 68% от 15.
Точно так же можно рассчитать, что 95,45% значений при нормальном распределении не выходит за пределы двух стандартных отклонений от средней, и что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти все значения 99,73%.
Распределение результатов исследования должно выглядеть следующим образом.
Рис. 2. Нормальное распределение
|
|
|
Возможны и другие, более точные, процедуры проверки распределения данных относительно нормального распределения, например, с помощью критерия Пирсона, Mо (мода), Мe (медиана), 
(математическое ожидание выборки). Если Mо ≈ Мe ≈ , то распределение близко к нормальному.
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 379; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!