НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ
Основні методи інтегрування
Інтегрування є зворотною задачею диференціювання. Функція називається первісною для функції на інтервалі , якщо для будь-якого виконується рівність . Множина всіх первіснихфункції називається невизначеним інтегралом: , де ‑ довільна стала.
Таблиця основних і нтеграл і в :
1) | 1 0) |
2) | 1 1) |
3) | 1 2)
|
4) | |
5) | 1 3)
|
6) | |
7) | 1 4)
|
8) | |
9) | 1 5) |
Основні властивості невизначеного та
визначеного інтеграл і в:
· , (3.1.1)
· , (3.1.2)
· (3.1.3)
якщо , ‑ сталі;
· , (3.1.4)
· інваріантність формул інтегрування:
якщо , то , (3.1.5)
де – довільна диференційована функція;
· , ; (3.1.6)
· (де ). (3.1.7)
Для обчислення визначених інтегралів спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:
, (3.1.8)
де ‑ первісна для неперервної функції .
Метод безпосереднього інтегрування базується на прямому використанні основних властивостей невизначеного інтеграла та проведенні тотожних перетворень підінтегральної функції з метою одержання табличних інтегралів або їх суми.
|
|
Метод заміни змінної (підстановки) застосовується, коли в підінтегральному виразі є функція й її диференціал :
, (3.1.9)
де – нова змінна, , неперервні функції.
Користуючись формулою заміни у визначеному інтегралі, на відміну від невизначеного, не треба повертатись до попередньої змінної.
, (3.1.10)
де – нова змінна, і – нові межі інтегрування, неперервна на відрізку , неперервна на .
В формулах інтегрування частинами
, (3.1.11)
(3.1.12)
(де мають неперервну похідну) ліва частина є компактним записом шуканого інтеграла, а права – шляху його відшукання.
Щоб обчислити інтеграли , , , в якості доцільно позначати многочлен , а - вирази - , , , .
Щоб знайти інтеграли , , в якості береться , а - функції , , .
За необхідності інтегрування частинами проводиться кілька разів. Наприклад, для інтеграла дворазове інтегрування частинами (зі збереженням вибору ) призводить до повернення до шуканого інтеграла (і дозволяє таким чином його виразити).
|
|
Інтегрування добутків тригонометричних функцій , , (де – числа) здійснюється шляхом попереднього їх перетворення в алгебраїчні суми за допомогою формул:
; ; .
Приклад 3.1.1. Знайти методом безпосереднього інтегрування невизначені та визначені інтеграли: 1) , 2) , 3)
Розв’язання. 1) Для обчислення інтеграла віднімемо і додамо в чисельнику число 9 та застосуємо властивості (3.1.1), (3.1.2) та табличні інтеграли 1) та 13) :
.
2) Підносячи вираз в дужках до другого степеня, а потім інтегруючи кожний доданок, згідно (3.1.2) маємо:
Зауважимо, що , , тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 2) таблиці інтегралів.
3) Застосуємо властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 3):
Почленним діленням інтеграл звівся до табличних 6) і 9) з урахуванням властивості (3.1.3) .
Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличнго інтеграла 4), а також табличний інтеграл 1) та формулу Ньютона-Лейбніца (3.1.8).
Приклад 3.1.2. Знайти методом заміни змінної (підстановки) невизначені та визначені інтеграли: 1) 3) , 4) 5) .
Розв’язання. 1) Нехай В підінтегральному виразі маємо функцію і її диференціал (нагадаємо, що ). Роблячи заміну , знаходимо . Будемо мати . Повертаючись до попередньої змінної, остаточно знайдемо
|
|
Розв’язок можна оформити таким чином:
Можна також використовувати і такий запис:
. Тут заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знайшли нові межі інтегрування: та . Для цього обчислили значення нової змінної при та (це попередні межі інтегрування). Можна також використовувати і такий запис:
.
3)
4)
5)
.
Приклад 3.1.3. Знайти інтегруванням частинами невизначені та визначені інтеграли: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .
Розв’язання. 1)
В цьому випадку в якості беремо , бо маємо добуток виду . Щоб інтеграл прийняв вид , позначимо . Щоб скористатися формулою інтегрування частинами (3.1.11) треба знайти і , тому рівняння продиференцюємо, а в рівнянні знайдемо первісну (скористаємось також властивістю (3.1.3) інтеграла).
2)
. В даному випадку підінтегральна функція має вид , а тому в якості слід обрати .
3)
. Тут застосовано формулу інтегрування частинами (3.1.11) для визначеного інтеграла.
4)
. Формулу (3.1.11) тут довелося використати двічі.
5)
Приклад 3.1.4. Знайти інтеграли від раціональної або ірраціональної функції шляхом виділення повного квадрату у знаменнику: 1) , 2) , 3) , 4)
|
|
Розв’язання. 1)
Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 12) .
2)
. Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 13) .
3) Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 15) .
4) Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 14) .
Приклад 3.1.5. Знайти способом перетворення добутків тригонометричних функцій у суми інтеграли: 1) , 2) .
Розв’язання. За допомогою тригонометричних формул маємо:
1) .
2) .
Зауважимо, що приклади 3.1.1 – 3.1.5 відповідають завданню 3.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 211 ‑ 252], [2, с. 308 ‑ 338], [3, с. 444 – 479, 509 ‑ 513], [11].
Невласні інтеграли
Інтеграли з нескінченними межами інтегрування й інтеграли від розривних функцій називаються невласними. Невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею функції (неперервної при ):
. (3.2.1)
Якщо ця границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку - розбіжним. Аналогічно визначається невласний інтеграл із нескінченною нижньою межею,
, (3.2.2)
а також із двома нескінченними межами:
. (3.2.3)
Якщо неперервна при і , то
. (3.2.4)
Приклад 3.2.1. Дослідити на збіжність невласні інтеграли: 1) , 2) , 3) , 4) .
Розв’язання. 1) .
Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.
2) . Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.
3) . Границі не існують, тому невласний інтеграл розбігається.
4) . Границя існує, але нескінченна, тому невласний інтеграл розбігається.
Зауважимо, що приклад 3.2.1 відповідає завданню 3.2 контрольної роботи.
Література: [1, с. 253 ‑ 255], [2, с. 375 ‑ 382], [3, с. 559 – 565], [11].
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 887; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!