Сходящиеся последовательности

Глава 1. Элементы теории множеств Лекция 1.Элементы теории множеств. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Бином Ньютона. Множество - одно из основных понятий математики. Опр.1.1. Множество– совокупность объектов, собранных по какому-либо признаку, который называется характеристическим свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Числовыми множествами называются множества, элементами которых являются числа. Приняты следующие обозначения: элемент принадлежит множеству ; элемент не принадлежит множеству ; множество состоит из элементов . Опр.1.2. Два множества и называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Множество называется подмножествоммножества , если все элементы множества являются одновременно и элементами множества . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым . Пересечениеммножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как , так и , т.е. . Объединениеммножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному их данных множеств, т.е. . Разностьюмножеств и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е. . В представленных записях операций со множествами нами использованы так называемые «кванторы» - логические символы, с помощью которых удобно записывать многие математические понятия: «и»; «или»; квантор общности, означает «для любого», «для каждого»; квантор существования, вместо слов «существует», «имеется»; «не существует»; «единственный»; «следует»; «равносильно», «тогда и только тогда». Числа, используемые для счета предметов или объектов, называются натуральными . Если к натуральным числам присоединить им противоположные и ноль, то мы получим множество целых чисел . Множество всех дробных чисел получило название рациональных чисел . Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби. Множество бесконечных непериодических десятичных дробей получило название иррациональных чисел, например и т.д. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел . Опр.1.3. Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета, называется числовой осью. Между числовой осью и множеством действительных чисел существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой и наоборот, каждой точке на прямой ставится в соответствие единственное действительное число. Опр.1.4. Интервалом называется множество всех точек (чисел), заключенных между двумя какими-нибудь точками (числами), называемыми концами интервала. Если вместе с множеством точек интервала рассматривать и его концы, то интервал называется замкнутым или . Если концы интервала не рассматривать, то интервал называется открытым или . Если один конец присоединяется к интервалу, а другой – нет, то получаем полуоткрытый интервал или . Кроме конечных интервалов, существуют бесконечные интервалы, например ; ; и т.д. Опр.1.5. Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, равное самому себе, если положительно или равно нулю, и ему противоположное, если отрицательно: Отметим некоторые свойства модуля: 1. . 2. . 3. ; . 4. . 5. , . 6. , . 7. , . Опр.1.6. Открытый интервал длины с центром в точке называется окрестностью точки . Иначе множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству называется окрестностью точки . Опр.1.7. Точка называется предельной точкоймножества , если в любой окрестностью точки находятся точки из , отличные от . Изолированной точкоймножества называется такая точка этого множества, что в достаточно малой ее окрестности нет точек из , отличных от . Внутренней точкоймножества называется такая точка этого множества, что существует некоторая окрестность точки , целиком содержащаяся в множестве . Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки называетсязамкнутым.Точка называется граничной точкоймножества , если любая ее окрестность содержит точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границейэтого множества. Опр.1.8. Множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число , что для любого . В этом случае число называется верхней (нижней) граньюмножества . Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным, в противном случае – неограниченным. Опр.1.9. Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней граньюмножества и обозначается . Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней граньюмножества и обозначается . Если множество не ограничено сверху, то ; если не ограничено снизу, то . Теорема1.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Бином Ньютона.

Числовые последовательности

1. Числовые последовательности и действия над ними

Опр.2.1: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность х₁, х₂, … х_n, … Числа х_n(n=1,2, …) называют элементами или членами последовательности, а число х_n – общим или n-ым членом данной последовательности.

Последовательности можно задавать формулой общего члена х_n.

Пример: ;

Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде множества точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности

Если дана последовательность и из некоторого подмножества ее членов образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в данной последовательности, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается , причем n_k_{< .}

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводят следующим образом.

Опр.2.2: Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей называются последовательности , члены которых образованы соответственно по следующим правилам:

Произведением последовательности на число сназываются последовательности .

Опр.2.3: Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если числовое множество с элементами х₁, х_2,… х_n, … ограничено сверху (снизу). Последовательность, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной.

2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Опр.2.4: Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство .

Опр.2.5: Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого положительного числа (сколь бы малым его не взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство

Теорема 2.1: (связь между б.б. и б.м. последовательностями): Если последователность -б.б. и все ее члены отличны от 0 (х_n≠0), то последовательность - б.м.; и обратно, если - б.м. последовательность, (a_n≠0), то последовательность = - б.б.

Свойства б.м. последовательностей:

Теорема 2.2: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

Теорема 2.3: Произведение любого конечного числа б.м. послед-ей есть б.м. послед-ть.

Замечание: Частное б.м. последовательностей может не быть б.м. последовательностью и может не иметь смысла.

Теорема 2.4: Произведение ограниченной последовательности на б.м. есть последовательность б.м.

Следствие: Произведение б.м. последовательности на число есть последовательность б.м.

Сходящиеся последовательности

1. Понятие сходящейся последовательности

Опр.3.1: Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ∀ε>0(сколь бы малым его не взяли)существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Замечание 1: Из определения

-ε<x_n-a<ε

a-ε<x_n<a+ε

Эти неравенства означают, что элемент х_n находится в ε-окрестности числа а. Поэтому опр. предела последовательности примет вид: число а является пределом последовательности , если ∀ε>0 ∃N, начиная с которого все члены последовательности принадлежат ε-окрестности точки а.

Таким образом, геометрический смысл пределапоследовательности: сходится к числу а, если вне любой ε-окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Замечание 2: Пусть сходится и имеет своим пределом число а. Тогда последовательность будет б.м., т.к. ∀ε>0 ∃Nn≥N . След-но, любой элемент х_nсходящейся к числу а последовательности можно представить в виде: где а_n – элемент б.м. последовательности .

Обратно: если , где -б.м. последовательность, то

Если - б.м. последовательность, то , т.е. всякая б.м. последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.

Замечание 3: Если последовательность - б.б., то предел ее равен ∞, т.е. , причем если, начиная с некоторого номера n, последовательность сохраняет определенный знак, то говорят, что

2. Основные свойства сходящихся последовательностей

Лемма 3.1: Если все элементы б.м. последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.

Теорема 3.1: Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема 3.2: Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Следствие: если из последовательности можно выделить две подпоследовательности , сходящиеся к а и b, a≠b, то последовательность не имеет предела.

Теорема 3.3: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Теорема 3.4: Сумма, произведение и частное двух сходящихся последовательностей и , пределы которых равны ,есть сходящаяся последовательность, пределы которых соответственно равны:

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!