Закон сохранения импульса в изолированной системе их двух материальных точек

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет

имени М.Т.Калашникова»

Факультет СТиА

Кафедра «Физики»

Коллоквиум по

дисциплине: «Физика»

Выполнила:

студентка группы С02-381-1 Пещерских Е.А.

Проверил:

к.т.н., доцент Люпа Д.С.

Ижевск, 2013

Законы Кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.[2]

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды. [2]

Рисунок 1.Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов – 1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рисунке 2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.[3]

Рисунок 2.Эллиптическая орбита планеты массой m << M. a – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (закон площадей – 1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади. Иллюстрирует 2-й закон Кеплера рисунок 3

Рисунок 3.Закон площадей – второй закон Кеплера

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рисунке 3 изображен вектор импульса тела и его составляющие p_r и p_┴. Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

или ; (Δt→0) (1)

где

r — радиус-вектор частицы;

ω = ;(Δt→0) – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов p_┴ и r:

L =r p_┴= r(m v_┴) = mrω, (2)

так как v_┴= rω

Из этих отношений следует:

; (Δt→0) (3)

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным.[2]

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии v_p и афелии v_a направлены перпендикулярно радиус-векторам r_p и r_a из закона сохранения момента импульса следует:

r_p v_p = r_a v_a(4)

Третий закон Кеплера (гармонический закон – 1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

или (4)

где Т1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца,

а1 и а2 — длины больших полуосей их орбит.

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рисунке 4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.[2]

Рисунок 4.Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

(5)

где M и m – массы Солнца и планеты,

r – расстояние между ними,

G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

(6)

Если T2 ~ R3, то

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.[2]

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рисунок 5).

Рисунок 5.Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ΔA гравитационной силы F на малом перемещении ΔS=Δr есть:

(7)

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

(8)

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

(9)

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

(10)

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.[3]

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рисунок 6).

При E = E1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 6.Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R

При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

(11)

отсюда 7,9 ∙ м/с (12)

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.[3]

(13)

отсюда 11,2 ∙ м/с (14)

Рисунок 7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9· м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2· м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.[2]

Рисунок 7.Космические скорости.

Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1: υ = υ1 – круговая траектория; 2: υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3: υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс; 4: υ = υ2 – параболическая траектория; 5: υ > υ2 – гиперболическая траектория; 6: траектория Луны

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона, закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.

Эксперимент Кавендиша

Установление Ньютоном закона всемирного тяготения явилось важнейшим событием в истории физики. Его значение определяется прежде всего универсальностью гравитационного взаимодействия. На законе всемирного тяготения основывается один из центральных разделов астрономии — небесная механика. Нужен был очень тонкий и чувствительный метод. Непосредственно для физики значение этого закона определялось тем, что его следствия допускали экспериментальную проверку с точностью, недоступной другим механическим опытам конца 17—18 веков. Дискуссия о точности, с которой выполняется закон всемирного тяготения, шла на протяжении всего 18 века.[4] Сделать это не так просто, потому что сила притяжения очень мала. Мы ощущаем силу притяжения Земли. В итоге с помощью простого соотношения, установленного Ньютоном, был объяснен ряд своеобразных астрономических явлений (в частности, особенности движения Луны), которые первоначально выдвигались как примеры, опровергающие закон всемирного тяготения. Однако, несмотря на все успехи небесной механики, на протяжении многих десятилетий использование закона всемирного тяготения затруднялось тем, что не было определено значение гравитационной постоянной G, входящей в закон Ньютона[1]

(15)

где m1 и m2 — массы материальных точек,

R — расстояние между ними,

F — сила взаимодействия между ними.

Вследствие этого ученые были вынуждены пользоваться в расчетах относительными величинами. К середине 18 века назрела необходимость экспериментального определения G. Поскольку нахождение G имело значение главным образом для астрономии, эта задача была сформулирована как определение средней плотности Земли. Очевидно, что при известных значениях плотности ρ и радиуса R Земли, а также ускорения свободного падения g на ее поверхности можно найти G:

(16)

Первым ученым, определившим плотность Земли (а следовательно, и G) с удовлетворительной точностью, был Генри Кавендиш.[4]

Первоначально эксперимент был предложен Джоном Мичеллом. Именно он сконструировал главную деталь в экспериментальной установке — торсионный подвес, однако умер в 1793 так и не поставив опыта. После его смерти экспериментальная установка перешла к Генри Кавендишу. Кавендиш модифицировал установку(рисунок 8), провел опыты и описал их в Philosophical Transactions в 1798.

Рисунок 8 Торсионный подвес

Установка представляет собой деревянное коромысло, с прикрепленными к её концам свинцовые шарами весом 159 кг каждый. Оно подвешено на нити из посеребреной меди длиной 1 м. К шарам подносят шары меньшего размеры, сделанные также из свинца. В результате действия гравитационных сил, коромысло закручивается на некий угол. Жесткость нити была такой, что коромысло делало одно колебание за 15 минут. Угол заворота коромысла определялся с помошью луча света, пущенного на зеркальце на коромысле, и отраженного в микроскоп. Зная упругие свойства нити, а также угол заворота коромысла можно вычилить гравитационную постоянную.

Для предотвращения конвекционных потоков, установка была заключена в ветрозащитную камеру. Угол отклонения мерился при помощи телескопа.[1]

Списав закручивание нити на магнитное взаимодейстивие железного стержня и свинцовых шаров, Кавендиш заменил его медным, получив те же результаты.

Вычислив G, Кавендиш одновременно нашел еще две неизвестных физических величин — массу и плотность Земли

Опыт проводится в два приёма: сначала большие шары с помощью поворотного механизма фермы подводятся к малым с одной стороны (например, против часовой стрелки, как показано на рисунке), а затем — с противоположной, и измеряется двойной угол закручивания нити — от отклонения коромысла в одном направлении до противоположного. Это увеличивает непосредственно измеряемое значение угла, а главное — компенсирует влияние возможного наклонения или деформации установки и/или здания при перемещении тяжёлых шаров в ходе эксперимента, а также воздействие на результат всевозможных асимметричных факторов: технически неизбежной асимметрии самой установки, гравитационного влияния массивных объектов, находящихся поблизости (зданий, гор и т.п.), магнитного поля Земли, её вращения, положения Солнца и Луны, и др.

Для предотвращения влияния конвекционных потоков воздуха в помещении крутильные весы были заключены в деревянный кожух[3].

Предположив, что на закручивание нити может оказать влияние магнитное взаимодействие железных стержней фермы и свинцовых шаров, Кавендиш заменил стержни медными, получив те же результаты (рисунок 9).

Рисунок 9. Вертикальный разрез установки

На рисунке Кавендиша:[1]

ABCDDCBAEFFEA — неподвижный деревянный кожух, внутри которого подвешены крутильные весы.

m — тонкий деревянный стержень коромысла.

g — растяжка из тонкой серебряной проволоки, сообщающая жёсткость коромыслу.

X — малые шары, подвешенные к коромыслу на проволоке.

K — рукоятка механизма первоначальной установки коромысла.

RrPrR — поворотная ферма, с закреплёнными на ней большими шарами W.

MM — шкив поворотного механизма фермы.

L — осветительные приборы.

T — телескопы для наблюдения за отклонением коромысла через остеклённые отверстия в торцевых стенках кожуха, напротив концов коромысла.

На нижних краях этих отверстий с внутренней стороны кожуха были установлены шкалы из слоновой кости с делениями в 1/20 дюйма (около 1,2 мм). На торцах коромысла были прикреплены верньеры из того же материала, с такими же делениями, подразделёнными на 5 равных отрезков. Точность измерения отклонения конца коромысла составляла, таким образом, 1/100 дюйма.

Наличие двух телескопов позволяло контролировать корректность эксперимента: если бы показания телескопов заметно отличались, это свидетельствовало бы о наличии какого-то дефекта в конструкции установки, или о каком-то неучтённом физическом факторе, существенно влияющем на результат.

Для своего времени эта установка явилась беспримерным шедевром искусства физического эксперимента.[1]

Вычисленное значение

В «Британнике» утверждается, что Г. Кавендиш получил значение G=6,754·10−11 м³/(кг·с²). Это же утверждают Е. P. Коэн, К. Кроув и Дж. Дюмонд и А. Кук.. Л. Купер в своём двухтомном учебнике физики приводит другое значение: G = 6,71·10−11м³/(кг·с²). О. П. Спиридонов — третье: G = (6,6 ± 0,04)·10−11м³/(кг·с²).

Следует отметить, что сам Кавендиш в своём эксперименте не ставил задачу определения гравитационной постоянной, о которой в его время ещё не было выработано единого представления в научном сообществе. В своей классической работе Кавендиш рассчитал значение средней плотности Земли: 5.48 плотностей воды (современное значение 5,52 г/см³ лишь на 0,7% отличается от результата Кавендиша). Средняя плотность планеты оказалась значительно больше поверхностной (~2 г/см³), из этого следовало, что в глубинах Земли сосредоточены тяжёлые вещества.

Гравитационная постоянная была введена, по-видимому, впервые только С. Д. Пуассоном в «Трактате по механике» (1811). Значение G было вычислено позже другими учеными из данных опыта Кавендиша.[3]

Закон сохранения импульса в изолированной системе их двух материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Между материальными точками действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Здесь - внутренняя сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й материальной точки,

- внешняя сила, действующая на i-ю материальную точку. Материальные точки системы обладают импульсом:[5]

(17)

Система материальных точек называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю: = 0. Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

(18)

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим:

(19)

Сумма производных равна производной от суммы, а также по третьему закону Ньютона:

(20)

В результате получим:

(21)

Если система материальных точек замкнута, т.е. , тогда = 0, и имеет место закон сохранения импульса: .

Закон сохранения импульса системы материальных точек:

(22)

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Если система не замкнута – импульс силы, мера действия силы за некоторый промежуток времени.[5]

Задачи по 1 разделу

1. Найти среднюю плотность планеты Меркурий, если известно, что отношение массы m Меркурия к массе М Земли равно, радиус Меркурия равен = 2,42∙ м, радиус Земли R = 6,38∙ м. Величину ускорения свободного падения на поверхности Земли принять равной

Дано: Решение:

m/М = 0,054 Величина силы притяжения между Землей и Меркурием

= 2,42∙ м F = ,

R = 6,38∙ где γ = 6,67∙10 - гравитационная постоянная,

g = 9,8 м/с r – расстояние между центрами планет.

Найти: -?

2. Найти силу гравитационного взаимодействия F между двумя протонами, находящимися на расстоянии r =10-16 м друг от друга. Масса протона m = 1,67 • 10-27 кг.

Дано: Решение:

r = м сила гравитационного взаимодействия выражается

m = 1,67 • кг формулой:

F = .

Найти: F-? Подставляя числовые данные, получим:

F = 6,67• (6,67• ) • (2,7889• ) =1,86 • Н

Ответ: F = 1,86 • Н

3. Искусственная планета имеет круговую орбиту. Найти величину v линейной скорости ее движения и период Т обращения вокруг солнца. Радиус Солнца R = 6,96 • м, средняя плотность Солнца p = 1,41 • кг/ . Среднее расстояние планеты от Солнца r = 1,71 • км.

Дано: Си Решение:

R = 6,96 • м Запишем второй закон динамики

p = 1,41 • кг/ для планеты (сразу в модулях):

r = 1,71 • км 1,71• м = ,

где γ = 6,67∙10 - гравитационная

Найти: v-? T-? постоянная,

r – расстояние между центрами планет

4. Минимальное расстояние кометы Галлея от Солнца rmin = 0,6 а.е. (одна астрономическая единица 1 а.е.=1,5 • км – радиус земной орбиты). Зная период обращения кометы Т=76 лет, определить насколько далеко она уходит от Солнца.

Дано: Решение:

rmin = 0,6 а.е. Так как в качестве единицы времени – год, а единицы

Т=76 лет длины – расстояние от Земли до Солнца, то проще

всего параметры орбиты кометы сравнить с

Найти: rmax - ? параметрами орбиты Земли.

Из 3-го закона Кеплера найдем большую полуось орбиты кометы Галлея a:

(r0 = 1a.e., T0 = 1 год)

Теперь определяем максимальное удаление кометы от Солнца:

Ответ: rmax = 5,3 • км

5. Какое время затрачивает комета Галлея на прохождение дальней от Солнца половины своей орбиты и какое - на прохождение ближней половины? Площадь эллипса равна

(а и b – большая и малая полуоси элипса).

Решение:

На рисунке Солнце находится в точке О. При прохождении дальней половины орбиты радиус-вектор кометы «заметает» площадь верхней половины эллипса и площадь треугольника АОВ. Эти площади равны соответственно:

Воспользуемся 2-ым законом Кеплера, сформулировав его в несколько ином виде площадь, описываемая радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени. И сравним времена прохождения кометой всей орбиты и дальней ее половины:

Отсюда для искомого времени получаем:

Остальные 14,5 лет тратятся на обход ближней к Солнцу половины орбиты. Как видим эти времена отличаются больше, чем в 4 раза.

Задачи по 2 разделу

1. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нём. Найти скорость вагона, если он двигается со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.

Дано: СИ Решение:

m₁=100 кг

V₁=500 м/c

m₂=10 т 10000кг

V₂=36 км/ч 10 м/с

V-?

Считая удар неупругим, запишем закон сохранения

импульса:

Ответ: -4,9 м/с

Снаряд массой 50 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 600 м/с, разрывается на две части с массами 30 кг и 20 кг. Большая часть стала двигаться в прежнем направлении со скоростью 900 м/с. Определить величину и направление скорости меньшей части снаряда.

Дано: Решение:

m=50 кг

V=600 м/c

m₁=30 кг

m₂=20 кг

V₁= 900 м/с

V₂-?

Ответ: V = 150 м/с

3. Движение материальной точки описывается уравнением: x=5∙8t+4t². Приняв его массу 2 кг, найти импульс через 2с и через 4 с после начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Дано: Решение:

x=5∙8t+4t²x=5∙8t+4t²

m=2 кг V_o=40 м/с

t₁=2c V=V₀+a∙t

t₂=4c V(2c) = 40+8∙2=56 м/с

V(4c) = 40+8∙4=72 м/с

p₁-?

p= m∙V

p₂-? p₁=2∙56=112 (кг∙м)/с

p₂=2 ∙72=144 (кг∙м)/с

F=∆p/∆t

F=(144-112)/(4-2)=32/2=16Н

Ответ: F=16Н, p₁=112 (кг∙м)/с, p₂=144 (кг∙м)/с

4. На вагонетку массой 50 кг, катящуюся по горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?

Дано: Решение:

Ответ: ΔV = 1,16 м/с

5. Два пластилиновых шарика, отношение масс которых m2/m1 = 4, после соударения слиплись и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью U. Определите скорость легкого шара до соударения, если он двигался втрое быстрее тяжелого (V1=3V2), а направления движения шаров были взаимно перпендикулярны. Трением пренебречь.

Дано: Решение:

m2/m1 = 4 Так как скорости V1 и V2 шаров взаимно перпендикулярны,

V1=3V2 то оси прямоугольной системы координат удобно направить

параллельно скоростям. Согласно закону сохранения

Найти: V1 - ? имеем:

Ответ: V1 = 3U

Список литературы

1. Кавендиш Г. Опыты по определению плотности Земли Классики физической науки М: 1989. — С. 255—268.

2. Милюков В. К., Сагитов М. У. Гравитационная постоянная в астрономии // Знание. 1985.

3. Филонович С. Р. Физический эксперимент и его восприятие Исследования по истории физики и механики. М., 1988. C.5-36 (I)

4. Электронная библиотека /Эксперимент Кавендиша /История науки и цивилизации [Электронный ресурс]. URL:http://knowlg.com/node/128 (дата обращения 22.03.2013)

5. Электронная библиотека / Социальный навигатор/ закон сохранения импульса тела [Электронный ресурс]. URL:http://www.edu.yar.ru/projects/socnav/prep/phis001/soh/sohran16.html(дата обращения 16.04.2013)

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1037; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!