Сечение геометрических тел плоскостью. Определение натуральной величины фигуры сечения.
Билет 1. Метод прямоугольного проецирования: аппарат проецирования, образование чертежа точки, прямой, законы проекционной связи.
1.Аппарат проецирования включает в себя проецируемый объект, проецирующие лучи и плоскость, на которую осуществляется проецирование.
Например
Проецируемый объект— точка А. Через точку А проходит проецирующий луч i с направлением к картинной плоскости Пn, называемой плоскостью проекций.
Для метода прямоугольного проецирования характерно то, что проецирующие лучи направлены к плоскости проекций под углом 90 ̊
2.
При параллельном проецировании считается, что центр проекций находится в бесконечности.
Все проецирующие лучи проходят параллельно друг другу.
Параллельное проецирование осуществляется при выполнении двух условий.
1) задано направление проецирования 
;
2) проецирование ведется на плоскость, непараллельную (направлению проецирования).
|
Рис. 1.2
В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций параллельное проецирование может быть:
а) прямоугольное (ортогональное), когда проецирующие углы падают на плоскость проекций под прямым углом ( 
);
б) косоугольное (аксонометрическое), если направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол не равный 90°.
3.
Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки A (рис. 1.4) является основание перпендикуляра A0 , проведенного из точки A на плоскость π0 Проекцией точки всегда является точка.. 
|
|
|
4. Проецирование прямой
Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и В, достаточно выполнить комплексный чертеж этих двух точек, затем соединить одноименные проекции, получим соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямой.
Проекция прямой – всегда прямая, кроме тех случаев, когда прямая перпендикулярна к одной из плоскостей, и проекция этой прямой на эту плоскость будет изображаться в виде точки.
Чтобы положение прямой в пространстве было определенным, необходимо иметь не менее двух проекций отрезка (рис.1).
Прямая общего положения – прямая, наклонная ко всем плоскостям проекций.
Прямая частного положения – прямая, параллельная хотя бы к одной из плоскостей проекций.
Прямые параллельные плоскостям проекций называются прямыми уровня.
Прямая параллельная горизонтальной плоскости проекции называется горизонтальной прямой. Параллельная фронтальной – фронтальной, параллельная профильной – профильной прямой
5.Законы проекционной связи:
Образование и закон проекционной связи 2х картинного комплексного чертежа
|
|
|
Двух картинный комплексный чертёж точки образуется путём совмещения П1 и П2 (горизонтальной и фронтальной плоскостей), при этом П1, вращаясь вокруг оси Х, опускается вниз до совмещения с плоскостью П2.
Закон проекционной связи:
Горизонтальная и фронтальная проекции точки А – А1 и А2 лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси х.
Образование и закон проекционной связи 3х картинного комплексного чертежа
Трёх картинный комплексный чертёжобразуется путём совмещения П1, П2 и П3 (горизонтальной, вертикальной и профильной плоскостей)
Законы проекционной связи:
1.Горизонтальная и фронтальная проекции точки А – А1 и А2 лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси х.
2.Фронтальная и профильная проекции точки А – А2 и А3 лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси z.
3.Горизонтальная и профильная проекции точки А – А1 и А3 лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси у.
Сечение геометрических тел плоскостью. Определение натуральной величины фигуры сечения.
«Сечение – изображение фигуры, получающеёся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости» (ГОСТ 2.305-68).
Рассекая геометрическое тело плоскостью, получают сечение – ограниченную замкнутую линию, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.
При пересечении многогранника с плоскостью в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника, а при пересечении тел вращения фигура сечения ограничена плавной кривой линией. Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий, взятых на поверхности тела (например, образующих конуса и цилиндра). Точки пересечения образующих с секущей плоскостью будут принадлежать кривой линии сечения.
Для того чтобы определить натуральную величину сечений, необходимо знать способы преобразования плоскостей проекций: способ вращения и способ перемены плоскостей проекций.
В качестве вспомогательных, к комплексным чертежам применяют аксонометрические проекции. Это делают в тех случаях, когда нужно дать наглядное изображение предмета.
Сечение призмы плоскостью
Фигура сечения представляет собой плоский шестиугольник. Для построения проекций фигуры сечения находят проекции точек пересечения плоскости Рvс ребрами призмы и соединяют их прямыми линиями. Фронтальные проекции этих точек получаются при пересечении фронтальных проекций ребер призмы со следом Рv, секущей плоскости Р (точки 1` - 6`).
Горизонтальные проекции точек пересечения 1-6 совпадают с горизонтальными проекциями ребер.
Имея фронтальные и горизонтальные проекции этих точек, с помощью линий связи находят профильные проекции 1" - 6'' Полученные точки соединяют прямыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.
Сечение цилиндра плоскостью
Построение плоского сечения прямого кругового цилиндра аналогично построению плоского сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматривать как прямую призму с бесчисленным количеством ребер - образующих цилиндра.
Фронтально-проецирующая плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилиндра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса.
Натуральная величина фигуры сечения, получена способом перемены плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой. Новая ось проекций выполнена совпадающей с плоскостью Р.
Сечение конуса плоскостью
При различном расположении секущей плоскости Р по отношению к оси прямого кругового конуса получают различные фигуры сечения, ограниченные большей частью кривыми линиями. Основание конуса расположено на горизонтальной плоскости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.
Для построения горизонтальной проекции контура фигуры сечения – горизонтальную проекцию основания конуса (окружность) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях проводят вспомогательные образующие. Сначала находят фронтальные проекции точек сечения 1` - 12`, лежащих на фронтальном следе плоскости Рv. Затем с помощью линий связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей S2, проецируется на горизонтальную проекцию этой же образующей S2 в точку 2.
|
|
|
|
|
|
3. Взаимное пересечение геометрических тел - многогранников.
Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно производить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий задания дает более простые построения. Эти способы следующие:
1.Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.
2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении многогранных поверхностей.
Если проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани другой, хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани. Однако пересечение проекций ребра и грани еще не означает, что ребро и грань пересекаются в пространстве.
На примере (рис.79) показано пересечение поверхности треугольной призмы с треугольной пирамидой. Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рисунке 79 б показано построение линии пересечения пирамиды АВСS и треугольной призмы DEFD*E*F*.
Для нахождения точек 1 и 2 в которых ребро пирамиды AS пересекает грани DD*EE* и EE*FF* призмы, через проекцию ребра A2S2 проведена фронтально проецирующая плоскость П2, которая пересекает ребра призмы в трех точках, горизонтальные проекции этих точек пересечения плоскости с ребрами призмы, образуют треугольник. Проекция ребра пирамиды A1S1 пересекает полученный треугольник в точках 11 и 21.
С помощью фронтально проецирующей плоскости β, находим точки 5 и 6 пересечения ребра пирамиды SC с гранями призмы EE*FF* и EE*DD*, а при помощи горизонтально проецирующей плоскости находим точки 3 и 4 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив полученные точки, с учетом видимости, получим пространственную ломаную линию – линию пересечения данных многогранников.
4. Взаимное пересечение геометрических тел вращения. Способы построения линии пересечения.
Схема построения линии пересечения:
1. Выбирается плоскость или поверхность – посредник.
2. Строятся линии пересечения посредником данных поверхностей в отдельности
3. Точки пересечения полученных линий между собой и будут принадлежать искомой линии пересечения данных поверхностей.
На рис. 179 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров; оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.
На рис. 179, а изображены деталь, предназначенная для соединения труб,- тройник, и ее упрощенная модель - два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т. е. с окружностью (рис. 179, б). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отметив на горизонтальной проекции характерные точки 1, 2, 3, находят их профильные проекции 1", 2", 3", которые расположены на дуге окружности. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1, 2, 3 находят их фронтальные проекции 1', 2', 3'. Таким образом, находят проекции точек, определяющих линию перехода.
В ряде случаев такого количества точек недостаточно, и чтобы получить дополнительные точки, применяют:
1) Способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ заключается в том, что поверхность каждого тела пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные при пересечении контуров сечений, являются точками линии пересечения. В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной горизонтальной секущей плоскостью (рис. 179, в). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра - прямоугольник. Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, определяют линию пересечения обоих тел (см. рис. 179, а). Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, при помощи линий связи находят фронтальные проекции (см. рис. 179, в). Полученные точки соединяют плавной кривой.
При необходимости увеличить число точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных вспомогательных секущих плоскостей.
Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры, то одна из проекций линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 179, г и д), а линии пересечения - эллипсы.
2) Метод сфер. Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются два тела вращения и их оси пересекаются и расположены параллельно какой-либо плоскости проекций.
Построение линии взаимного пересечения двух тел вращения начинают с определения на одной и построения на других проекциях точек, в которых пересекаются крайние образующие заданных геометрических тел. На рис. 315 этими точками являются точки 1, 2, 3, 4, отмеченные сначала на фронтальной проекции, а горизонтальные проекции 1, 2, 3, 4 построены с помощью линий проекционной связи. Остальные точки построены с помощью концентрических сфер. Центр этих сфер берется в точке пересечения осей (точка о').
Сфера пересекается с каждым из конусов по двум окружностям, которые в данном случае изображаются на фронтальной проекции как отрезки, перпендикулярные осям соответствующих конусов. Для построения этих отрезков необходимо определить точки пересечения контурной линии сферы с контурными линиями каждого конуса и соединить их. Таким образом, две линии пересечения одного конуса со сферой и две линии пересечения второго конуса с той же сферой пересекутся между собой. Точки их пересечения и будут искомыми точками, принадлежащими линии взаимного пересечения. Разберем это на примере построения то-чек 9' и 10', совпадающих на фронтальной проекции. Эти точки получились в результате пересечения проекции а'b' окружности, по которой пересекается горизонтально расположенный конус со сферой; с проекцией c'd' окружности, по которой пересекается вертикально расположенный конус с той же сферой. Так же строят и все остальные точки.
Количество вспомогательных концентрических сфер определяется их необходимостью. Радиусы сфер берутся произвольно, но при этом нужно учитывать, что проекцию сферы с наименьшим радиусом проводят касательно к образующим большей поверхности, а проекция сферы с наибольшим радиусом не должна проходить дальше, чем расположена наиболее удаленная крайняя точка, лежащая в пересечении очерковых образующих. На рис. 315 такой точкой является точка 4'. Для определения радиуса наименьшей сферы из точки о' опускают перпендикуляр на крайнюю образующую и получают точку касания k'. Расстояние ok' и будет искомым радиусом. Фронтальная проекция горизонтально расположенного конуса имеет с проекцией касательной сферы общую окружность k'k׳1, а проекция вертикально рас-положенного конуса пересекается с проекцией сферы наименьшего радиуса по двум окружностям (проекции е'f׳ и п'т'), которые пере-секаются с проекцией k'k׳1 окружности в точках 5', 6' и 7', 8'.
На горизонтальной проекции точки 5...20 строят с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций этих точек до пересечения с проекциями окружностей, по которым концентрические сферы пересекаются с поверхностью вертикально расположенного конуса.
Точки, построенные на фронтальной и горизонтальнойпроекциях, соединяют от руки и обводят по лекалу, предварительно определив их видимость. На фронтальной проекции (рис. 315) невидимая часть линии пересечения совпадает с видимой частью этой линии.
5. Построение разверток геометрических тел.
Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике. Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестиугольная призма. Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Для построения развертки на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек расставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками. Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида. Из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
7. Прямоугольная изометрия. Изображение окружности.
Изометри́ческаяпрое́кция — это разновидность аксонометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения по всем трём осям один и тот же. В прямоугольной изометрии углы между осями равны 120°. Действительный коэффициент искажения по аксонометрическим осям равен 0,82, но для удобства построения показатель принимают равным 1. Вследствие этого аксонометрическое изображение получается увеличенным примерно в 1,22 раза.
Окружность проецируется в эллипс, если плоскость окружности расположена под углом к плоскости проекции. Следовательно, аксонометрией окружности будет эллипс. Для построения прямоугольной аксонометрии окружностей, лежащих в координатных или им параллельных плоскостях, руководствуются правилом: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрии той координатной оси, которая отсутствует в плоскости окружности. В прямоугольной изометрии равные окружности, расположенные в координатных плоскостях, проецируются в равные эллипсы. Диаметры окружностей, параллельных координатным осям, проецируются отрезками, параллельными изометрическим осям, и изображаются равными диаметру окружности. Эллипс, как изометрию окружности, можно построить по восьми точкам, ограничивающим его большую и малую оси и проекции диаметров, параллельных координатным осям.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1936; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!