Частное решение ДУ n-го порядка.
Частным решением ДУ n-го порядка называется решение ДУ, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных C1, C2, …, Cn
13. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядка.
ЛОДУ 2-го порядка называются уравнения вида:
y’’ + p1(x)*y’ + p0(x)*y = 0
ЛОДУ всегда имеет тождественно равное нулю решение, которое называется нулевым или тривиальным.
Простейшие свойства решений (доказательство одного из них)
1) Если y1(x) и y2(x) – решения ЛОДУ, тоy = y1(x) + y2(x) – тоже решение ЛОДУ
2) Если y(x) – решение ЛОДУ, то для любого λ*y(x) –тоже решение ЛОДУ
Доказательство 1-го свойства:
y’’ + p1(x)*y’ + p0(x)*y = 0
Дано: y1(x) и y2(x) – решения ЛОДУ
Доказать: y = y1(x) + y2(x) – тоже решение ЛОДУ
Доказательство:
y = y1(x) + y2(x)
y’ = y1’(x) + y2’(x)
y’’ = y1’’(x) + y2’’(x)
Подставим в исходное уравнение:
y1’’(x) + y2’’(x) + p1(x)*(y1’(x) + y2’(x)) + p0(x)*(y1(x) + y2(x)) = 0
y1’’(x) + p1(x)*y1’(x) + p0(x)*y1(x) + y2’’(x) + p1(x)* y2’(x) + p0(x)* y2(x) = 0
т.к. y1(x) и y2(x) – решения ЛОДУ, то
y1’’(x) + p1(x)*y1’(x) + p0(x)*y1(x) = 0
и
y2’’(x) + p1(x)* y2’(x) + p0(x)* y2(x) = 0
→y = y1(x) + y2(x) – тоже решение ЛОДУ
14. Линейная зависимость двух функций.
Система функций y1(x) и y2(x) называется линейно зависимой, если найдется хотя бы один коэффициент λi ≠ 0, при котором линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю.
0 *y1(x) + λ2 * y2(x) = 0
λ1* y1(x) + 0* y2(x) = 0
Линейная независимость системы двух функций.
Система функций y1(x) и y2(x) называется линейно независимой, если линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю только тогда, когда все коэффициенты λ1и λ2равны нулю.
|
|
0 * y1(x) + 0* y2(x) = 0
Следствие: Если ≠ const , y1(x) и y2(x) – линейно независимы; а если = const, то y1(x) и y2(x) – линейно зависимы.
Условие линейной зависимости двух функций
Система двух функций y1(x) и y2(x) является линейно зависимой в интервале (a, b), если определитель Вронского равен нулю во всех точках этого интервала.
Условие линейной независимости двух функций
Система двух функций y1(x) и y2(x) является линейно независимой в интервале (a, b), когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.
Определитель Вронского
Определителем Вронского системы функций y1(x) и y2(x) называется определитель вида:
W(x) = | y1(x) | y2(x) |
y1’(x) | y2’(x) |
Свойства определителя Вронского для линейной зависимости системы двух функций (доказательство)
Дано: {y1(x);y2(x)} – линейно зависимая на (a, b)
Доказать: W(x) = 0;∀x∈ (a, b)
Доказательство: {y1(x);y2(x)} – линейно зависимая на (a, b)
= const → y1(x) = С * y2(x)
W(x) = | y1(x) | y2(x) | = | Сy2(x) | y2(x) | = Сy2(x)* y2’(x) - y2(x)*Сy2’(x) = 0 |
y1’(x) | y2’(x) | Сy2’(x) | y2’(x) |
15. Определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) n-го порядка
|
|
Система функций {y1(x); y2(x); …; yn(x)}, состоящая из n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка, называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения
Определение фундаментальной системы решений ЛОДУ 2-го порядка
Для ЛОДУ 2-го порядка ФСР состоит из 2 линейно независимых решений этого уравнения.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 623; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!