Линейные дифференцыяльные уравнения n–го порядка
1º. Основные понятия
Определение. Линейным дифференциальнам уравнением n–го порядка называется уравнение вида
y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y¢ + pn(x)y = f(x). (1)
Функции-кэффициенты p1(x), p2(x), … , pn(x) и свободный член f(x) обычно считают непрерывными на некотором промежутке I Î R.
Если сравнить уравнение вида (1) с уравнением, разрешённым относительно старшей производной
y(n) = f(x, y, y¢, …, y(n–1)),
то в последнем уравнении правая часть должна иметь специальный вид (переносим вправо часть членов из левой части).
Если к уравнению (1) добавить начальные условия
y(x0) = y0
y¢( x0) = (2)
…
y(n – 1)( x0) = ,
то можно рассматривать задачу Коши (1), (2).
Определение. Если в уравнении (1) правая часть тождественно неравна нулю (f(x) 0), тогда уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ)n–го порядка.
Определение. Если в уравнении (1) правая часть тождественно равна нулю (f(x) º 0), тогда уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ )n–го порядка.
По определению ЛОДУ n–го порядка имеет вид
y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y¢ + pn(x)y = 0. (3)
2º. Теорема существования и единственности решениий
Теорема. Если функции p1(x), p2(x), … , pn(x), f(x) непрерывные на отрезке I = [a, b], тогда для любых начальных условий (2), где x0 Î [a, b], существует единственное решение задачи Коши (1), (2).
|
|
Доказательство с помощью теоремы § 10.
Уравнение (1) приводим к виду
y(n) = f(x, y, y¢, …, y(n–1))
и получаем
f(x, y, y¢, …, y(n–1)) = f(x) – p1(x)y(n – 1) – p2(x)y(n – 2) –…– pn(x)y. (4)
Проверим условия теоремы § 10.
Функция (4) непрерывная по всем аргументам.
Частные производные функции (4) равны
,
,
...
и являются непрерывными функциями на отрезке I = [a, b], а значит ограниченными.
Таким образом, условия теоремы § 10 выполняются и задача Коши (1), (2) имеет единственное решение на некотором промежутке по x.
Свойства ЛОДУ n–го порядка
1º. Пространство решений ЛОДУ
Обозначим через
L(y) º y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y¢ + pn(x)y
левую часть ЛОДУ n–го порядка, тогда само ЛОДУ можно записать
L(y) = 0 (1)
Замечаниею Оператор (функция) обладает свойством линейности, т.е.
L(C1y1 + C2y2) = C1L(y1) + C2L(y2)
Теорема 1. Если функции y1, y2, … , ym являются решениями ЛОДУ (1), тогда линейная комбинация
C1y1 + C2y2 + ... + Cmym,
где C1, C2, … , Cm Î R, также решение ЛОДУ (1).
Доказательство. Проверяем непосредственной подстановкой в (1) вместо y функции C1y1 + C2y2 + ... + Cmym.
|
|
Вывод. Множество решений ЛОДУ (1) образует линейное пространство.
2º. Линейная зависимость и независимость системы функций
Для описания пространства решений ЛОДУ (1) нам понадобится
Определение. Система (набор) функций u1(x), u2(x), … , um(x) называется линейна зависимой на отрезке [a, b], если для " x Î [a, b] одна из функций является линейной комбинацией остальных.
Линейная зависимость системы функций u1(x), u2(x), … , um(x) означает, что существуют такие числа a1, a2, ... , am, из которых хотя бы одно не равно нулю, такия, что на отрезке [a, b] выполняется равенство
a1u1(x) + a2u2(x) + … + amum(x) = 0. (2)
Понятно, если одна из функций системы является нулевой ( º 0 на отрезке [a, b]), система функций будет линейно зависимой.
Определение. Если тождество (2) выполняется на отрезке [a, b] только в случае, когда все ak , k = 1, 2, …, m, равны нулю, тогда система функций u1(x), u2(x), … , um(x) называется линейна независимой на отрезке [a, b].
Пример 1. Система функций 1, x, x2, ... , xm линейно независимая на любом отрезке.
Действительно, соотношение вида (2) для данной системы функций имеет вид a1 + a2x + a2x2 +… + amxm = 0.
На любом отрезке соотношение не может выполняться тождественно, если не все ak , k = 1, 2, …, m, равны нулю, так как это многочлен степени невыше m, который может иметь не более m различных корней.
|
|
Теорема 2 (неабходимое условие линейной зависимости).Если функции u1(x), u2(x), … , um(x), определённые на отрезке [a, b], имеющие производные до порядка (m – 1) включительно, образуют линейно зависимую систему функций на отрезке [a, b], тогда на отрезке [a, b] тождественно равен нулю определитель
º 0.
Без доказательства.
Определение. Определетель вида
W(x) º W[u1, u2, … , um] º
называется определителем Вронского или Вронскианом.
Вывод (достаточное условие линейной независимости). Если определетель Вронского системы функций u1, u2, … , um не ревен нулю хатя бы в одной точке отрезка [a, b], то система функций является линейно независимой.
Пример 2. Докажем снова, что на любом отрезке система функций
1, x, x2, ... , xm линейно независимая с помощью достаточного условия.
Покажем, что W[1, x, x2, ... , xm] ¹ 0.
W[1, x, x2, ... , xm] = = 1×1×2!×3!×... ×m! ¹ 0, " x Î R.
Пример 3. Покажем, что функции с разными действительными числами k1, k2, … , km образует линейно независимую на R систему функций.
Действительно,
W[ ] = =
= × ¹ 0, " x Î R.
Последний определитель называется определителем Вандермонда.
|
|
Определитель Вандермонда не равен нулю, если числа k1, k2, … , km не равны между собой.
Замечание. Равенство W(x) = 0 на отрезке не является достаточным условием для линейной зависимости системы функций.
Рассмотрим, например, систему функций
, ,
для которой носители ненулевых значений не пересекаются.
На отрезке [0, 2] имеем равенство , так как на отрезке [0, 1] первый столбик W(x) равен нулю, а на отрезке [1, 2] — второй столбик.
Но система u1(x), u2(x) линейно зависимой не является, так как нет неравных нулю чисел a1, a2, таких, чтобы на отрезке [0, 2] выполнялосьтождество
a1u1(x) + a2u2(x) = 0.
Равенство нулю определителя Вронского на отрезке является достаточным условием для линейной зависимости системы n решений ЛОДУ n–го порядка.
Теорема 3 (критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ).
Для того, чтобы система n решений y1, y2, ... , yn ЛОДУ n–го порядка
L(y) = 0 (1)
с непрерывными на [a, b] коэффициентами была линейно независимой на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы
W[u1, u2, … , um] ¹ 0 " x Î [a, b].
Доказательство. Достаточнасть следует из вывода теоремы 2.
Необходимость. Пусть существует x0 Î [a, b], что W(x0) = 0.
Тогда рассмотрим систему уравнений
, (3)
Её определитель W(x0) = 0, тогда существует нетривиальное решение системы (3) — числа a1, a2, ... , am не все равные нулю.
Рассмотрим функцию
y(x) = a1y1(x) + a2y2(x) + … + anyn(x). (4)
Она является решением ЛОДУ (1), как линейная комбинация решений.
Из (3) следует, что функция (4) удовлетворяет начальным условиям
y(x0) = 0, y¢(x0) =0, ... , y(n – 1)(x0) = 0. (5)
Но тем же условиям удовлетворяет и тривиальное решение yт(x) º 0 уравнения (1).
По теореме существования и единственности решения задачи Коши ЛОДУ (1), (5) имеем единственное решение, поэтому решения yт(x) º 0 и (4) совпадают. Это значит, что
a1y1(x) + a2y2(x) + … + anyn(x) º 0 на [a, b],
и система решений y1, y2, ... , yn ЛОДУ является линейно зависимой.
3º. Структура общего решения ЛОДУ n–го порядка
Теорема 4. Если коэффициенты ЛОДУ n–го порядка
L(y) = 0, (1)
непрерывные на [a, b] функции, тогда существует линейно независимая на [a, b] система n решений ЛОДУ
Доказателбство. Фиксируем x0 Î [a, b].
Сначала ЛОДУ (1) задаём начальные условия вида
y(x0) = 1, y¢(x0) = 0, ... , y(n – 1)(x0) = 0. (6)
По теореме п. 2º § 12 существует единственное решение y1(x) задачи Коши (1), (6).
Потом задаем другие начальные условия
y(x0) = 0, y¢(x0) = 1, ... , y(n – 1)(x0) = 0. (7)
Пусть y2(x) — единственное решение задачи Коши (1), (7).
Аналогично строим другие решения ЛОДУ (1).
yn(x) — последние решение задачи Коши с начальными условиями
y(x0) = 0, y¢(x0) = 0, ... , y(n – 1)(x0) = 1.
Получили n решений ЛОДУ (1). Для этих решений
W(x0) = = 1 ¹ 0,
значит построенная система решений линейно независимая по выаоду из теоремы 2.
Теорема доказана.
Определение. Любая линейно независимая система n решений ЛОДУ (1) с непрерывными коэффициентами называется фундаментальной системой решений ЛОДУ (1).
Теорема 5. Общее решение ЛОДУ (1) с непрерывными коэффициентами имеет вид
y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, (8)
где y1, y2, ... , yn — фундаментальная система решений ЛОДУ (1);
C1, C2, … , Cn — произвольные постоянные.
Доказательство. Проверим определение общего решения (§ 10).
Очевидно, что функция (8) меет непрерывные частные производные по x до порядка n включительно, и при любых C1, C2, … , Cn функция (8) является решением линейного уравнения (1).
Покажем, что для любого набора x0, y0, можно найти значения констант C1, C2, … , Cn.
Диффернцируем (8), подставляем набор значений и получаем систему
.
Определитель системы W(x0) ¹ 0, поэтому существует нетривиальное решение C1, C2, … , Cn.
Вывод. Максимальное число линейно независимых решений ЛОДУ равно его порядку.
Свойства ЛНДУ n–го порядка
Теорема 1. (Структура общего решения ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ
L(y) = f(x), (1)
с непрерывными коэффициентами есть сумма частного решения ЛНДУ (1) и общего решения соответствующего ЛОДУ.
Доказательство. Пусть yч(x) — известное частное решение ЛНДУ (1), а y(x) — любое решение ЛНДУ.
Рассмотрим функцию z(x) = y(x) – yч(x).
Воспользуемся линейностью оператора L , тогда имеем
L(y – yч) = L(y) – L(yч) = f(x) – f(x) = 0.
Поэтому z(x) является решением ЛОДУ и имеет представление
z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn,
отсюда
y(x) = yч(x) + C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn.
С другой стороны, если z(x) решение ЛОДУ, то y(x) = yч(x) + z(x) — решение ЛНДУ.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть yч1 — частное решение ЛНДУ
L(y) = f1(x),
а yч2— частное решение ЛНДУ
L(y) = f2(x),
тогда сума yч1+ yч2 есть решение ЛНДУ
L(y) = f1(x) + f2(x).
Доказательство.
L(yч1+ yч2) = L(yч1) + L(yч2) = f1(x) + f2(x).
Теорема доказана.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 736; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!