Обнаружение сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Показатели качества обнаружения
Для обнаружителя оптимального по критерию Неймана-Пирсона определим вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Для этого потребуется определить распределение вероятностей достаточной статистики у, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла y при отсутствии (l = 0) и наличии (l = 1) сигнала s(t) на входе обнаружителя.
Рассмотрим случай l = 0, то есть когда на входе обнаружителя присутствует только шум n(t). Тогда x(t) = n(t) и величина у (см.7.21), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние равны
M[y / l = 0] = 0, D[ y / l = 0] = 2ES / N0 = q2.
Таким образом, плотность вероятностей рn (у) величины y при l = 0 имеет вид
Рассмотрим случай l = 1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины у по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины y, очевидно также не меняется, D[y/l=1] = q2. Изменяется лишь математическое ожидание:
Следовательно,
(8.1)
Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения:
(8.2)
|
|
|
Используя интеграл вероятностей
(8.3)
формулы (8.1) и (8.2) можно переписать в виде
(8.4)
(8.5)
С помощью (8.4) и (8.5) рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Для обнаружителя, оптимального по критерию Неймана-Пирсона в качестве характеристики оптимального обнаружения используется зависимость правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при постоянной вероятности ложной тревоги Рпр= f(q) при Рлт = const. Согласно (8.4) и (8.5) имеем
(8.6)
где Ф-1(u) - функция, обратная к интегралу вероятностей (8.3). Задаваясь значением Рлт, можно, пользуясь таблицей интеграла вероятностей, определить Ф-1(1-Рлт), а затем, задаваясь различными значениями q, рассчитать Рпо в соответствии с выражением (8.6).
Рис. 8.1
В результате этого получим график Рпо= f(q). На рис.8.1 сплошными линиями показаны характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Характеристики обнаружения позволяют определить минимальную энергию принимаемого сигнала Епр.min (или его минимальную мощность Рпр.min), необходимую для его обнаружения с заданными качественными показателями Рлт и Рпо.
|
|
|
Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой
На фоне белого шума
Начальная фаза радиосигнала, как правило, неизвестна. В этом случае можно использовать модель сигнала
s(t,j) = V(t)cos[w0t + y(t) ‑ j], (8.7)
где законы амплитудной V(t) и фазовой y (t) модуляции и частота w0 известны, а начальная фаза j неизвестна. Выражение (8.7) удобно представить в виде
s(t,j) = s1(t)cos j + s2(t)sin j, (8.8)
где s1(t) = V(t)cos(w0t + y(t)), s2(t) = V(t)sin(w0t + y(t)) - квадратурные составляющие сигнала.
Полагаем, что начальная фаза j является случайной величиной, при этом при отсутствии информации об априорном распределении j естественно считать это распределение равномерным
p(j) = 1/2p, - p £ j £ p. (8.9)
Такая модель радиосигнала используется в радиолокации при описании отраженных сигналов от неподвижной цели.
Отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой получается путем усреднения условного отношения правдоподобия L(x/j) по всем возможным значениям фазы
|
|
|
(8.10)
Что касается условного отношения правдоподобия L(x/j), то оно, очевидно, совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала s(t,j), где j - фиксированная величина. Поэтому согласно (7.17) имеем:
.
Подставив в это выражение (8.8), рассмотрим получающиеся интегралы. Корреляционный интеграл
где
- его квадратурные составляющие, а 
Далее, при Т >> 2p/w0 энергия сигнала от значения фазы j практически не зависит и поэтому
Таким образом,
.
Подставляя это выражение и (8.9) в (8.10), после интегрирования получаем отношение правдоподобия
(8.11)
где I0(y) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Учитывая, что lnI0 (y) является монотонной функцией, приходим к оптимальному алгоритму обнаружения вида
, (8.12)
где
(8.13)
Структурная схема обнаружителя на рис. 8.2 построена в соответствии с формулами (8.12) и (8.13). Такую схему называют квадратурным приемником. Квадратурные каналы организуют путем включения фазовращателя в цепь опорного сигнала одного из перемножителей. Квадраторы (Кв), сумматор (å), вычислитель квадратного корня ( 
) обеспечивают формирование на входе ПУ в момент времени t = T значения 
. Наличие двух каналов исключает возможность потери полезного сигнала вследствие незнания его начальной фазы.
|
|
|
Схема обнаружителя, представленная на рис.8.2, как и схема, изображенная на рис.8.3, требует знания временного положения ожидаемого сигнала. Если время запаздывания сигнала неизвестно, схема оптимального обнаружителя усложняется. При разбиении интервала неопределенности времени запаздывания на элементарные участки, длительность каждого из которых, определяется требуемой разрешающей способностью по дальности, можно построить многоканальный корреляционный обнаружитель. Каждый канал его настраивается на сигнал с соответствующим запаздыванием. Решение об обнаружении сигнала принимается одновременно с оценкой времени запаздывания.
Рис.8.2
В радиолокации особо распространенным является прием сигналов с произвольным временем запаздывания. Поэтому в целях упрощения конструкции обнаружителя удобнее использовать фильтровой вариант его построения (рис.8.3), позволяющего обеспечить оптимальное обнаружение сигналов с произвольным временем запаздывания при наличии всего лишь одного приемного канала. Возможность использования согласованных фильтров в обнаружителях сигналов со случайной фазой основывается на следующих рассуждениях. Величина достаточной статистики y, которую должен формировать обнаружитель, есть огибающая колебания y×cos(j - q), иначе говоря, огибающая корреляционного интеграла у(j). Это колебание, можно сформировать пропустив наблюдаемый процесс x(t) через фильтр, согласованный с сигналом s(t, j), то есть имеющий импульсную характеристику вида h(t) = 2/N0 s(T - t, j) (здесь j - фиксированная величина). Отметим, что поскольку результат обработки у не зависит от значения начальной фазы j, то ее при реализации фильтра можно брать любой, в частности можно положить j = 0. Огибающая y(t) на выходе согласованного фильтра, на вход которого поступает процесс s(t) + n(t), выделяется амплитудным детектором (АД), при этом результат детектирования в момент времени t = T должен подаваться на пороговое устройство (см. рис.8.3).
Перейдем к расчету показателей качества обнаружения. Так как огибающая y(t) шума и смеси сигнала с шумом на выходе СФ распределена по закону Релея и обобщенному закону Релея (закону Райса) соответственно, то вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для обнаружителя, работающего по алгоритму (8.12), равны:
, (8.14)
(8.15)
где 
.
Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (штрихованные линии на рис.8.1) построены в соответствии с (8.14) и (8.15). По сравнению с характеристиками обнаружения детерминированного сигнала они сдвинуты вправо, то есть для обнаружения сигнала со случайной начальной фазой требуется несколько большее пороговое отношение сигнал/ шум.
Рис.8.3
Обнаружение сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
На практике обычно неизвестна не только начальная фаза радиосигнала, но и его амплитуда. В этом случае используется модель сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
s(t, a, j) = aU(t)cos(w0t + y(t) - j), (8.16)
где безразмерный параметр а, определяющий амплитуду сигнала, полагается случайной величиной, распределенной по закону Релея (при условии, что радиолокационный объект можно представить в виде большого числа статистически независимых случайных отражателей)
(8.17)
а фаза j - по равномерному закону (8.9).
Учитывая, что случайные величины a и j статистически независимы, отношение правдоподобия для рассматриваемого случая по аналогии с (8.10) можно представить в виде
Подставляя сюда (8.9) и выражение для условного отношения правдоподобия L(х/a,j) (которое получается из (8.17) путем замены s(t) на s(t, a, j)) и интегрируя затем по j, находим
где q2 = 2Es /N0, Es - энергия сигнала, соответствующая значению а = 1. Далее, используя (8.17) и интеграл
,
получаем
либо
, (8.18)
где
(8.19)
- усредненная энергия сигнала.
Поскольку у ³ 0, отношение правдоподобия L является монотонной функцией у. Поэтому, как и в предыдущем случае алгоритм оптимального обнаружения определяется формулами (8.12) и (8.13). Таким образом, структурные схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой совпадают со схемами оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой (см.рис.8.2 и 8.3). Заметим, что операция извлечения квадратного корня в схеме на рис.8.2 не обязательна, так как алгоритм (8.12) эквивалентен сравнению у2 c h2. Применительно к схеме на рис.8.3 это означает, что безразлично, какова характеристика амплитудного детектора - линейная или квадратичная.
Так как алгоритм обнаружения по сравнению с предыдущим случаем не изменился, то и вероятность ложной тревоги определяется прежней формулой (8.14). Для расчета вероятности правильного обнаружения потребуется найти плотность вероятности достаточной статистики у при l = 1:
где р(а) определяется формулой (8.17), а
- плотность вероятности огибающей смеси сигнала и шума при фиксированном значении а. Вычисляя этот интеграл, получаем
и затем находим вероятность правильного обнаружения
. (8.20)
Эта формула вместе с (8.14) и определяет характеристики оптимального обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Сравнивать их с характеристиками обнаружения сигнала при известной амплитуде нужно при условии равенства энергий различных сигналов. Поэтому согласно (8.19) следует положить s2 = 0,5. Учитывая это и исключая из (8.14) и (8.20) порог h, получаем
(8.21)
Характеристики обнаружения, рассчитанные по формуле (8.21), показаны на рис.8.1 (штрих-пунктирные линии). Видно, что характеристики обнаружения в этом случае особенно сильно смещаются вправо в области больших значений вероятности правильного обнаружения (при Рпо ³ 0,9). Это связано с возможными замираниями при случайной амплитуде сигнала. Чтобы обеспечить достаточно большие вероятности правильного обнаружения при наличии таких замираний, необходимо значительное увеличение средней энергии сигнала. Наоборот, при малых вероятностей правильного обнаружения (Рпо < 0,3) флуктуации амплитуды облегчают обнаружение и характеристики сдвигаются влево.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 2985; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!