Стационарные и нестационарные случайные процессы
Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс, у которого n-мерная плотность вероятности не изменится, если все отсчеты времени сместить на одну и ту же величину:
(2.7)
Если выбрать 
, то n-мерная плотность вероятности не будет зависеть от начала отсчета времени
(2.8)
Таким образом, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности вообще не зависит от времени, а двумерная плотность зависит не в отдельности от t1 и t2 , а от их разности 
(2.9)
(2.10)
В свою очередь, из выражений (2.9) и (2.10) вытекает, что математическое ожидание и дисперсия стационарного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит от t:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Из (2.11), (2.12) и (2.13) следует, что математическое ожидание 
постоянно и поэтому для стационарного процесса характеризует постоянную составляющую процесса; постоянность 
характеризует то, что в каждой точке времени t средняя удельная мощность флюктуаций (то есть мощность переменной составляющей) одна и та же; зависимость 
от 
означает, что для стационарного процесса неважно, в каких точках t1 и t2 берутся сечения, важна разность между ними 
.
Если условие (2.7) не выполняется, то случайный процесс называется нестационарным. Иногда о стационарности судят только по выполнению равенств (2.9), (2.10) и, соответственно, (2.11) - (2.13). Говорят, что, если выполняются равенства (2.9) и (2.10), то процесс является стационарным, не интересуясь при этом, выполняется условие (2.7) или нет. Такой подход дает более широкое толкование стационарности.
|
|
|
Определение стационарного процесса в широком смысле является более приемлемым для решения практических задач, так как проще получать данные об одномерной и двумерной плотностях вероятности, чем о многомерной.
В строгом смысле физически не существует стационарных случайных процессов, так как любой процесс должен начаться в определенный момент времени в прошлом и, вероятно, завершиться в некоторый момент в будущем. Однако есть много физических ситуаций, когда статистические характеристики процесса не изменяются на интервале времени наблюдения. В этих случаях предположение о стационарности приводит к удобной математической модели, которая является достаточно точной аппроксимацией реальной ситуации.
Эргодическое свойство стационарных случайных процессов
Среди всех стационарных процессов имеется часть, которая обладает эргодическим свойством. Поясним это свойство. Пусть имеется одна длинная реализация x(t) случайного процесса 
(t). Эта реализация определена на интервале 
Найдем среднее значение этой реализации путем ее усреднения во времени на достаточно большом интервале:
|
|
|
(2.14)
где черта сверху означает усреднение по времени, среднее значение 
является постоянной величиной, не зависящей от t.
Аналогично можно найти среднее значение квадрата флюктуаций и среднее значение произведения флюктуаций, смещенных одна относительно другой на интервал :
(2.15)
(2.16)
По своему физическому смыслу величины (2.14) - (2.16) являются числовыми характеристиками, совпадающими со средним значением, дисперсией и корреляционной функцией процесса (t). Однако они получены в результате усреднения во времени одной длинной реализации x(t) или функции от нее.
Говорят, что стационарный процесс обладает эргодическим свойством, если с вероятностью, близкой к единице, числовые характеристики, полученные в результате усреднения одной длинной реализации по времени, равны этим же характеристикам, полученным в результате усреднения по ансамблю. При этом усреднением по ансамблю называют определение числовых характеристик с использованием плотности вероятности, то есть по формулам (2.11) - (2.13), так как плотность вероятности характеризует всю совокупность или ансамбль реализаций.
|
|
|
Таким образом, для эргодического стационарного процесса справедливы равенства:
, 
(2.17)
Само слово «эргодический»происходит от греческого «эргон», что означает «работа». Эргодическое свойство является удобной рабочей гипотезой для расчета числовых характеристик стационарного процесса, когда располагают одной длинной его реализацией. Физически это обосновано тем, что одна длинная реализация может содержать сведения обо всех реализациях этого случайного процесса.
Заметим, что стационарность процесса является необходимым, но недостаточным условием эргодичности. Это означает, что не все стационарные процессы являются эргодическими. В общем случае трудно, если только вообще возможно, доказать, что эргодичность - обоснованное допущение для какого-либо физического процесса, так как может наблюдаться только одна реализация этого процесса. Тем не менее, обычно имеет смысл предположить эргодичность процесса, если только отсутствуют веские доводы физического характера, препятствующие этому.
|
|
|
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1076; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!