Предпосылки множественного регрессионного анализа
Рассмотрим модель множественной линейной регрессии
. (МЛР_1)
Результаты наблюдений 
и 
, 
, …, 
можно рассматривать как значения случайных величин 
и 
, 
, …, 
и имеющих такое распределение как случайные величины 
и 
, 
, …, 
соответственно. В этом случае линейная множественная регрессионная модель (МЛР_1) имеет вид
, 
. (МЛР_2)
Последнюю можно записать в векторной форме
, (МЛР_3)
где 
– вектор значений зависимой переменной размерности 
, 
, 
, – векторы значений объясняющих переменных размерности , 
– вектор возмущений (случайных ошибок, остатков) размерности , или в матричной форме
, (МЛР_4)
где
(МЛР_5)
матрица значений объясняющих переменных, или матрицы плана, размерности 
;
(МЛР_6)
вектор параметров размерности 
.
Модель (МЛР_4) удовлетворяет предпосылкам множественного регрессионного анализа, если выполняются следующие условия.
(РА1) В модели (МЛР_4) вектор возмущения 
, (или вектор значений 
) есть случайный вектор, а матрица значений 
объясняющих переменных , , …, – не случайная (детерминированная) матрица.
(РА2) Математическое ожидание вектора возмущения 
является нулевым вектором
(МЛР_7)
или математическое ожидание зависимого вектора 
равно линейной функции регрессии
|
|
|
.
(РА3), (РА4) Вектор возмущений удовлетворяет условиям
. (МЛР_8)
(РА5). Возмущение 
(или зависимая переменная 
) являются нормально распределенными случайными векторами, то есть 
.
(РА6) Векторы значений объясняющих переменных 
, 
, 
, …, 
или столбцы матрицы значений 
объясняющих переменных (или матрицы плана), размерности , должны быть линейно независимыми, то есть ранг матрицы 
– максимальный 
.
Кроме того, предполагается, что число имеющихся наблюдений (значений) каждой из объясняющих и зависимой переменных превосходит ранг матрицы 
, то есть 
.
Модель (МЛР_4) удовлетворяющая предпосылкам (РА1) – (РА6) называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии (Classical Normal Linear Multiple Regression model). Если же среди приведенных не выполняется предпосылка (РА5) о нормальном законе вектора возмущений 
, то модель (МЛР_4) называется просто классической линейной моделью множественной регрессии.
Для получения уравнения регрессии достаточно предпосылок (РА1) – (РА4), (РА6). Требование выполнения предпосылки (5) необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.
Умножим равенство (МЛР_4) слева на матрицу 
.
Вектор оценок 
вектора параметров 
модели (МЛР_4) определяется из равенства (М13), то есть 
. В таком случае, выражение для вектора оценок примет вид
|
|
|
,
то есть
.
Таким образом, оценки параметров (М13), найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.
Кроме того, из этого равенства получаем
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 359; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!