Различные виды текстовых задач с параметром и их решение
Классификация текстовых задач с параметром
Изучая литературу по данной теме, можно увидеть, что текстовые задачи, содержащие параметр, действительно являются задачами повышенного уровня сложности по сравнению с простыми текстовыми задачами. Потому что задачи с параметром – это задачи на сплавы, растворы, движение и работу. Конечно, встречаются другого вида текстовые задачи с параметром, но в упрощённом виде, без параметра, они тоже довольно часто встречаются в учебниках и пособиях.
Если рассматривать текстовые задачи, содержащие параметр, то можно разделить всё многообразие задач на две большие группы. Первая группа включает в себя задачи на составление уравнений, вторая – на составление неравенств. Задачи на составление неравенств легко отличить по наличию в них таких выражений, как «более» и «не более», «менее» и «не менее», «не позже» и «не раньше». Также от того, составлено уравнение или неравенство, зависит способ решения. Если в уравнениях рационально использовать приём умножения крест-накрест (свойство пропорции), то в неравенствах этого делать категорически нельзя. В случае неравенств решение осложняется тем, что необходимо переносить слагаемые из одной части в другую и приводить к общему знаменателю.
Итак, приведём классификацию текстовых параметрических задач.
I. По составленной математической модели:
1) задачи на составление уравнений;
|
|
2) задачи на составление неравенств.
II. По содержанию (условию) задачи:
1) задачи на растворы;
2) задачи на сплавы;
3) задачи на движение:
a) на суше;
b) на воде.
4) задачи на работу и производительность:
a) самостоятельная и совместная работа;
b) задачи о трубах или насосах.
5) геометрические задачи;
6) экономические задачи.
III. По роли параметра:
1) концентрация:
a) в задачах на растворы;
b) в задачах на сплавы;
2) объём:
a) в задачах на растворы;
b) в задачах на сплавы;
c) в задачах на работу (заполнение или осушение бассейна);
d) в геометрических задачах;
3) масса:
a) в задачах на растворы;
b) в задачах на концентрацию;
4) время:
a) в задачах на движение;
b) в задачах на работу и производительность;
5) скорость:
a) в задачах на движение;
b) в задачах на работу и производительность;
6) путь (в задачах на движение);
7) длина (в геометрических задачах);
8) цена (в экономических задачах);
9) количество (в экономических задачах).
Решение текстовых задач с параметром аналитическим методом
Решение текстовых задач, содержащих параметр, часто выполняется аналитическим методом.
Составление уравнений (или неравенств) в параметрических задачах строится по простому алгоритму:
|
|
1) обозначить одну величину (чаще всего это искомая величина) за х;
2) составить математическую модель, то есть составить уравнение (неравенство, систему уравнений или неравенств) на основе условия задачи;
3)проверитьобласть значений параметра.
Если после преобразований будут получены квадратные уравнения и неравенства, то для проверки области определения параметра, нужно сначала рассмотреть коэффициент а перед х2, если в его состав входит параметр. При а=0 уравнение или неравенство будет линейным. Решить линейное уравнение или неравенство. Далее нужно рассмотреть случай, когда а≠0, то есть уравнение или неравенство является квадратным. При таком условии для решения необходимо найти дискриминант и рассмотреть три возможных случая: D<0, D=0, D>0. При этом выбирать только те промежутки, где значения параметра неотрицательно.После при данных значениях дискриминанта найти х.
Часто ограничения и параметра, и значения х в задаче прямо не указаны, но следуют из условия (например, концентрация раствора данного вещества не может быть меньше 0% и больше 100%).
4) решить составленное выражение;
5) записать ответ. Причём в нём нужно отразить, при каких значениях параметра αсуществует хи чему он равен.
|
|
Проиллюстрируемрешение каждого типа задач.
Задачи на растворы
Как правило, в них требуется узнать, сколько раствора нужно перелить из одного сосуда в другой для получения нужной концентрации вещества в растворе. Метод решения таких задач достаточно прост: искомый объём обозначается за х (переменную), параметром же обычно служит концентрация либо одного из исходных растворов, либо полученного. Далее составляется уравнение (или неравенство, в зависимости от формулировки задачи) на основе формулы: , где C – концентрация , объём чистого вещества – Vв-ва=Vв-ва(1)+Vв-ва(пер.), объём всего раствора –Vр-ра=Vр-ра(1)+ Vр-ра(пер.).
Если составить уравнение таким образом и решить его, то в итоге будет получено значение х, выраженное через параметр α. Теперь необходимо проверить множество значений, которое может принимать параметр. Если в задаче дан объём сосудов, в которых находится раствор, тогда значение х должно лежать в диапазоне свободного объёма сосуда, куда переливают раствор. Если же объёма сосудов не дано, но х выражено в виде дроби, где α входит в знаменатель, то нужно найти такие значения, при которых дробь существует (знаменатель не равен 0).
|
|
Рассмотрим данный алгоритмна примере решения задач на составление и уравнения, и неравенства.
Задача 1:
В двух сосудах ёмкостью по 10 л содержится раствор серной кислоты. В первом из этих сосудов – 6 л раствора с объёмной долей вещества α, во втором – 8 л раствора, с объёмной долей 2α. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы объёмная доля в нём стала 0,2?
Решение:
Так как нет слов-сигналов (более, менее и других) данная задача решается при помощи составления уравнения.
Обозначим объём вещества, которое нужно перелить из II сосуда за х. В данной задаче параметр играет роль концентрации первоначальных растворов. Найдём объём вещества в первом сосуде: . Объём вещества в перелитом растворе – 2αх. Объёмная доля вещества в новом растворе в I сосуде 0,2. Имеем уравнение . Решим данное уравнение:
; ; , где .
Так как в I сосуд можно было долить до заполнения 4 л серной кислоты, запишем неравенство: Решим это неравенство:
;
Решение данного двойного неравенства равносильно решению системы неравенств: ; ; ;
Ответ: при .
Задача 2:
В один из сосудов ёмкостью по 8 л налито 5 л 60% раствора щёлочи, а во второй – 4 л 80% раствора щёлочи. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём получился раствор с концентрацией щёлочи α?
Решение:
Данная задача решается через уравнение, параметром в ней выступает концентрация полученного раствора.
Примем перелитый объём раствора за х л. Из условия ясно, перелитый объём раствора не превышает 3 л, то есть .
Найдём объём чистого вещества в первом растворе: 3 л (5*0,6=3). Тогда объём чистого вещества в перелитом растворе – 0,8*х л. Всего объём раствора в первом сосуде равен 5+х л. Составим уравнение: .
Решим полученное уравнение:
; ;
, .
Теперь подставляем х в составленное ранее неравенство: ;
Ответ: при .
Задача3:
В лаборатории в два сосуда, вместимость каждого составляет 8 л, налит раствор щёлочи. В первый сосуд налито 5 л раствора с объёмной долей вещества 2α, во второй – 7 л раствора щёлочи с объёмной долей вещества α. Из второго сосуда в первый переливают некоторое количество щёлочи таким образом, что концентрация раствора в нём стала не менее 80%. Какое количество раствора нужно перелить?
Решение:
Данная задача решается при помощи неравенства, роль параметра в ней играют первоначальные концентрации растворов.
Приняв за х перелитое количество раствора, определим объёмную долю вещества в новом растворе: . Объём нового раствора равен сумме объёмов смешанных растворов: . Подставим значения в формулу и отметив, что полученная величина не меньше , получим следующее неравенство: .
До того как решать неравенство, следует рассмотреть ограничения, которые накладываются на значение переменной и параметра α. Так как вместимость сосуда равна 8 л и в нём уже налито 5 л первого раствора, то перелитый объём раствора может принимать следующие значения: . Большая объёмная доля вещества в первом растворе, поэтому рассматриваем возможные значения для 2α; объёмная доля вещества не может превышать 100%, следовательно, , то есть .Теперь можно приступить к решению.
Для решения неравенств использованный в предыдущих примерах приём умножения крест-накрест не применим, поэтому необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести к общему знаменателю. Далее воспользоваться свойством неравенства: знак дроби совпадает со знаком произведения при всех значениях x, при которых дробь имеет смысл ( .
– обозначим полученное неравенство (*).
I. Допустим, что , то есть , тогда неравенство будет линейным.
.
Тогда , .
Конечным ответом является при и .
II. Теперь нужно найти дискриминант уравнения , когда .
.
Следующим этапом нужно рассмотреть три возможных значения D и соответствующие им значения х.
1) D<0, следовательно, . Корнями данного неравенства являются и . Нанесём их на координатную прямую[рис.1]
Рисунок1. Решение неравенства 25α(25α-216)<0
Условиям удовлетворяет только промежуток , но учитывая условие , окончательным ответом будет .
При отрицательном дискриминантенеравенство (*) не имеет корней. Так как значения α – положительные числа, , ветви параболы будут направлены вверх при . Следовательно, весь график выше оси Ох и х может принимать любые значения. Но в данном случае . Если же , ветви параболы направлены вниз, и неравенство при данном Dне имеет решений.
2) D=0, следовательно, . Корнями уравнения являются числа 0 и . Но условию удовлетворяет только α= .
В случае, когда D=0, неравенство будет иметь один корень: . Заметим, что тогда . Решение неравенства при таких значениях изображено на рисунке 2:
Рисунок 2. Решение неравенства при D=0
Подставив значения параметра α= в выражение для х, получим , то есть . Получается, что при α= и значения х нет.
3) D>0, то есть . Решение данного неравенства показано на рисунке 3:
Рисунок3. Решение неравенства
Условиям удовлетворяет интервал .
Тогда , где . Но при подстановке значений параметра α в полученное выражение для х становится очевидно, что
Ответ: при и ;
, если .
2) Задачи на сплавы
Задачи на сплавы очень схожи с задачами на растворы, недаром их часто объединяют в один блок. В задачах такого типа обычно требуется найти массу или концентрацию.
Как и в предыдущем случае за х обозначаем искомую величину; параметр α, как правило, указан в условии. Основным ограничением, про которое нельзя забывать при решении, являются следующие условия:x и α не могут быть отрицательными (чаще всего просто положительными).
.
При составлении выражений используется следующая формула: .
Рассмотрим примеры задач на составление уравнения и неравенства.
Задача4:
Имеются два куска сплава меди и цинка. Один из кусков содержит а% меди, другой – b%. В каком отношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий с%? При каких соотношениях между a, b, c решение задачи возможно и какую максимальную массу нового сплава можно получить, если масса первого куска Р г, а второго – Q г?[1, стр.357].
Решение:
При решении задач на сплавы и растворы, как правило, составляются таблицы, на основе данных которых потом составляются уравнения. Составим такую таблицу:
Сплав | Масса сплава, г | Концентрация меди, % |
I сплав | P г | a%; 0,01*a г |
II сплав | Q г | b%; 0,01*b г |
III сплав | p+q г | c%; 0,01*c г |
Пусть масса взятого куска первого сплав – p г, а второго – q г.
Данная задача решается при помощи уравнения, роль параметра в ней играют концентрации меди в начальных сплавах.
При составлении задач на сплавы, когда даны массы сплавов и концентрация вещества в них, пользуемся формулой: , где Mв-ва=Mв-ва(1)+ Mв-ва(2) и Mсп(3)=Мсп(1)+ Mсп(2). Составим уравнение с использованием этой формулы: . Решим данное уравнение:
; ;
; .
Рассмотрим правую часть полученного уравнения. Так как отношение двух масс p и q величина всегда положительная, то и правая часть всегда больше нуля.
; | |
Числитель и знаменатель больше нуля | Числитель и знаменатель меньше нуля |
Для нахождения максимальной массы нового сплава следует рассмотреть отношения и Для этих соотношений существует три возможных случая:
Максимальная масса | или |
Теперь, рассмотрев все варианты, мы можем записать ответ.
Ответ: , при или .
Если , то mmax= ; если , то mmax= ; если , то mmax= или mmax= [1].
Задача5:
Есть два куска сплава никеля со сталью. В первом сплаве, масса которого 8 кг, никеля содержится 2α, во втором сплаве массой 10 кг содержится α никеля. Какой массы должен быть кусок первого сплава, чтобы при его переплавке с первым куском никеля в новом сплаве было более60% никеля?
Решение:
Данная задача решается при помощи неравенства, роль параметра в ней играет концентрация никеля в исходных сплавах.
Приняв массу куска второго сплава, который нужно добавить, за x кг, можно записать массу никеля в новом сплаве: . Тогда масса нового сплава равна кг. Подставляя данные выражения в формулу , получаем концентрацию никеля в новом сплаве. По условию задачи,данная величина должна быть более60%, то есть .Перед решением рассмотрим, какие значения может принимать α и х: , то есть и . Теперь можно приступить к решению неравенства, приводя слагаемые к общему знаменателю и используя свойство неравенства о сохранении знака:
– обозначим это неравенство (*).
I. При неравенство (*) принимает вид , .Так как х>0, то выражение будет верно, когда . При этом величина xне превосходит 8: .
II. При α≠0,3 неравенство является квадратным. Найдём значение дискриминанта уравнения , воспользовавшись формулой :
Теперь рассмотрим случаи, когда положителен, отрицателен, равен 0.
1) , то есть . Корень этого уравнения [рис.4].
Рисунок4. Решение неравенства 625α2<0
У этого неравенства нет корней, следовательно, значений не существует. Тогда не существует и значений х, так как х должен выражаться через .
2) , то есть . Корнем уравнения равняется Но исходя из условий, . Следовательно, и в этом случае не существует значений х и , удовлетворяющих условиям.
3) , то есть [рис.5].
Рисунок5. Решение неравенства 625α2>0
Условиям задачи удовлетворяет .
Тогда . Нанесём корни на координатную прямую. Если , то ветви параболы будут направлены вверх, решение данного неравенства показано на рисунке 6:
Рисунок6. Решение неравенства (10α-3)x2+30(5α-2)x+(500α-300)>0 при D>0
Условиям удовлетворяет интервал , но при этом . Следовательно, нужно проверить условие ; решение его изображено на рисунке 7.
→ ,
Рисунок7. Решение неравенства (-15(5α-2)+25α2)/(10α-3)≤8
Тогда .
Ответ: , если ;
при .
Задачи на движение
В задачах на движение за переменную следует брать искомое значение: скорость, время или расстояние. Главное, о чём ни в коем случае нельзя забывать при решении такого типа задач, что значения переменной не могут быть отрицательными (х≥0), значения параметра тоже (в случае, когда параметр обозначает время, α>0).
Задача6:
Две точки движутся по сторонам прямоугольного треугольника, начиная с вершины прямого угла. С какой скоростью должна двигаться вторая точка, чтобы спустя время t расстояние между ними было не менее 20 м, если известно, что скорость первой точки на 5 м/с больше?
Решение:
Данная задача решается при помощи неравенства, роль параметра в ней играет время движения.
Примем искомую скорость V2 второй точки за х м/с, тогда скорость V1 первой точки равна (х+5) м/с. Теперь можно найти расстояние, которое прошла каждая точка за время t: xt м и (х+5)t м. Учтём, что t>0, x≥0.
Расстояние между их положением находится по формуле . Причём полученное выражение должно быть не менее 20 м, то есть . Решим полученное неравенство:
; ;
.
Найдём значение дискриминанта уравнения . Применим формулу :
Рассмотрим возможные случаи.
1) Если D1<0, то неравенство корней не имеет, а так как ветви параболы направлены вверх, все значения х будут положительны. Теперь найдём значения параметра t[рис.8].
; ; .
Рисунок8. Решение неравенства -25t4+800t2<0
Условию удовлетворяет интервал ( ; +∞) (по-другому, t> ), т.к.t>0.
2) Неравенство имеет решение при D1=0, то есть =0
→t1=0; t2= ; t3=
Удовлетворяет условиям только t= .
Теперь найдём значение х, подставив значение параметра tв уравнение . Получим:
; ;
.
3) Неравенство имеет решения при D1>0, то есть >0.
.
Решим уравнение [рис.9]. Получим следующие корни: t=0, t= . Нанесём данные корни на координатную прямую и определим знаки, выколов точку 0, так как время – величина положительная:
Рисунок9. Решение неравенства 25t2(t-√32)(t+√32)<0
Условию удовлетворяет полуинтервал (0; (по-другому, ). Тем самым мы нашли область допустимых значений параметра для данного случая. Теперь найдём значение х:
.
Так как , то и . Следовательно, удовлетворять условию х>0 будет только
Ответ:х – любое положительное число, если t> ; х= , если ; х=2,5, если t= .
Задача7:
Из города А в город В, расстояние между которыми равно 2S км, выехал мотоциклист. Спустя время t из этого же города выехал автомобилист, нагнавший мотоциклиста на расстоянии L от города А. Он доехал до В, развернулся и на расстоянии L уже от города В вновь встретил мотоциклиста. При этом в город А он вернулся позже, чем мотоциклист доехал до В. Какова разница во времени их прибытия?
Решение:
Сложность в решении данной задачи заключается в том, что не дано численных значений. Так как в задачах на движение основной является формула связи между расстоянием, временем и скоростью, за значение параметра следует принять расстояние между городами, то есть 2S. Задача решается при помощи составления уравнений.
В данной задаче целесообразнее за переменные обозначить скорости мотоциклиста и автомобилиста. Пусть x км/ч – скорость мотоциклиста, а yкм/ч –скорость автомобилиста.
Рисунок10. Пройденный автомобилистом и мотоциклистом путь до первой встречи
До встречи они оба преодолели расстояние L[рис.10], то есть и соответственно. При этом автомобилист выехал позже на время t, поэтому можно составить уравнение: . Обозначим это уравнение (1).
Рисунок11. Расстояние, на котором от пункта В встретились мотоциклист и автомобилист
Во время второй встречи на расстоянии L от пункта В автомобилист провёл в дороге времени, в то время как мотоциклист – , их путь изображён на рисунке 11.При этом разница во времени, проведённом в пути –t, поэтому . Обозначим это уравнение за (2).
Всё время мотоциклиста в пути равнялось , а всё время пути автомобиля – . Получается, что ответом на вопрос задачи станет величина, равная .
Для нахождения данной величины рассмотрим уравнения: ; Видно, что если умножить первое уравнение на (L–2S), а второе – на L, то в итоге получим: и . При сложении двух полученных уравнений левая часть будет равна 0, а после преобразований получим: . Выразим уз полученного уравнения . Теперь преобразуем уравнение (1), разделив обе части на L: . Подставив в это уравнение, получим . Получив и , можем ответить на вопрос задачи: .
Теперь необходимо проверить область значений параметра 2S. Исходя из условия задачи, 2S–2L>0, то есть . Кроме того, , так как время tзаведомо больше 0, а разница во времени может быть только числом положительным. Получается, , то есть .
Ответ: , если .
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 2548; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!