Задачи с параметром, решаемые с помощью аналитического метода
Пример. Найти все значения параметра , для каждого из которых больший корень уравнения в пять раз больше, чем его меньший корень.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с переменной x. Из условия задачи следует, что это уравнение должно иметь два различных корня, что возможно в том и только в том случае, если дискриминант D уравнения положителен. Тогда:
Пусть и – соответственно меньший и больший корни уравнения.
Поскольку и ,
то и .
По условию , отсюда следует,
что
Ответ:
Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственный корень.
Решение. Сделаем замену переменной. Пусть . Неравенство примет вид . Поскольку при любом действительном значении переменной, задачу можно переформулировать так: найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственный положительный корень. Если это неравенство имеет корни , то их сумма равна , поскольку .
(здесь график), откуда .
Ответ: .
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
, если числа a, b, c, d, p, q таковы, что
Решение. Выражение есть квадрат расстояния между точками (a;b;c) и (-d; -p; q). Первая точка лежит на сфере с центром в начале координат и , а вторая точка лежит на сфере с тем же центром и .
Наибольшее расстояние:
Наименьшее расстояние:
Отсюда следует, что искомые значения равны 196 и 16.
|
|
Ответ: 196; 16.
Пример. Найдите все значения параметра , для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень.
Решение. Заметим, что левая часть уравнения определена при любом действительном значении переменной, поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в знаменателе дроби отрицателен и, следовательно, не обращается в нуль. Рассмотрим данное уравнение как уравнение второй степени с переменной x, приведя его к стандартному виду. Выполним необходимые преобразования:
( ) (
(
При уравнение принимает вид 0 и не имеет корней.
При уравнение является квадратным и имеет хотя бы один корень в том и только в том случае, если его дискриминант D неотрицателен (или, что тоже, если ). Поскольку
Тогда , получаем неравенство
, из которого с учётом условия находим, что
Ответ: .
Пример.Найти наименьшее значение параметра , для которого существует хотя бы одна пара таких чисел что .
Решение.Рассмотрим данное неравенство как квадратное с переменной , переписав его в виде:
.
Так как коэффициент при второй степени переменной положителен, то квадратный трехчлен в левой части неравенства может принимать неположительные значения тогда, когда .
|
|
=
.
Рассмотрим как квадратный трехчлен относительно . Так как коэффициент при второй степени этого трехчлена отрицателен, принимать неотрицательные значения он может в том случае, если
.
Значит, ; , и наименьшим возможным значением параметра является .
Ответ. .
Пример. При каких значениях параметра уравнение
Имеет ровно три различных корня? Найдите все возможные значения .
Решение. Для начала составим систему:
Возведём правую часть уравнения нашей системы в квадрат:
Тогда уравнение системы примет вид:
Поэтому преобразуем данное уравнение:
Сделаем группировку слагаемых:
Следовательно, получим два уравнения: и .
Решением первого уравнения является:
Решением второго уравнения является;
и
и .
По условию задачи нам требуется три различных корня уравнения, поэтому, чтобы они не совпали, исключим:
и
Теперь найдём при каких эти три корня будут решением неравенства нашей системы:
При
При
При
Ответ:
Пример. Найти все значение параметра , при котором уравнение
имеет один корень на отрезке .
Решение. Сначала решаем данное уравнение:
|
|
Отсюда получаем два уравнения: и .
Из первого уравнения следует, что .
Теперь решим второе уравнение:
Теперь составим систему условий, которые обязательно должны выполняться:
Получаем:
Если – единственный корень; .
Если , то является решением, но тогда на промежутке будет два корня: .
В результате получаем, что является решением, когда:
1)
2)
3) .
Следовательно, если , то данное уравнение будет иметь одно решение на отрезке [0; ].
Ответ:
Пример. Найдите все значения параметра , при которых уравнение
имеет ровно два корня.
Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:
Выделим полный квадрат в левой части уравнения:
Составим систему:
Следовательно, ,
тогда
Так как , тогда
, тогда
Сделаем замену:
Если у нас получится два положительных корня, то всего у нас будет четыре корня, следовательно, мы не рассматриваем этот вариант. Тогда:
1)
Тогда получаем, что .
Если , то .
2)
Тогда получаем, что .
Если , то .
Ответ: , .
Пример. Найдите все значения , при которых система
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Рассмотрим второе уравнения данной системы:
|
|
Тогда система примет вид:
Сделаем замену:
и .
Получим, что:
Так как перестановка переменных в уравнении данной системы не влияет на решение этой системы, то если корнем является
то и , , , , , , тоже являются корнями.
Необходимым условием для существования системы с четырьмя решениями является:
1) , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: ,
тогда
и .
Если , то , откуда .
Если , то , откуда .
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :
Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (-1; 0), (1; 0), то увидим, что .
2) , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: ,
тогда
и .
Если , то , откуда .
Если , то , откуда .
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :
Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (1; 0), (-1; 0), то увидим, что .
3)
Пусть , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: (q; q), (-q; q), (q; -q), (-q; -q).
Тогда
и .
Если , то , , , .
Если , то , , , .
Отсюда – необходимое условие для существования четырёх решений.
Значит, найдя нужные , cделаем проверку, подставив в систему корень (q; q) и .
Также, если мы подставим другие корни (-q; q), (q; -q), (-q; -q), то увидим, что .
Ответ: , .
Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке [1; 2].
Решение.Рассмотрим правую часть данного уравнения как , а затем вынесем минус перед знаком логарифма:
1) При график возрастает, график возрастает.
График возрастает.
График – постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке
= =
Составим систему:
а)
и
б)
, так как
, так как
рис.2
.
2) При
График убывает.
График – постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке
а)
, так как
, так как
б)
и
0 |
1 |
рис.3
Ответ:
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1151; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!