Методические указания к выполнению расчётно–графической работы.

1. Упорядочить выборку по возрастанию, найти

2.Весь интервал, в который попали опытные данные, разбить на r частичных интервалов . При выборе длины частичных интервалов рекомендуется формула

. (1)

За шаг h принимается некоторое удобное число, ближайшее к значению Для удобства границы интервалов выбираются так, чтобы результаты измерений не совпали с границами интервалов.

Начало первого интервала сдвинуть влево от значения (например, взять - 0,5).

3. Для каждого частичного интервала найти сумму частот вариант и считать, что сосредоточено в середине i – ого интервала, т.е. взять

4. Построить гистограмму частот. По виду гистограммы подобрать закон распределения случайной величины.

5. По выборке найти:

6. Найти теоретические частоты , попавшие в i – ый интервал по формуле

, (4)

где .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то

, (5)

где Таблица значений функции Ф(x) приведена в приложении 4.

Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то

(6)

7. Вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле

(7)

где r – число интервалов, - эмпирическая частота i- ого интервала, - теоретическая частота i- ого интервала.

8. По таблице - распределения на уровне значимости и числе степеней свободы k найти критическое значение (приложение 3).

Число степеней свободы k находится по формуле

, (8)

где r – число частичных интервалов, l – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение), поэтому l=2. Если предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр , поэтому l=1.

9. Сравнить два значения и . Если , то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначительными. Если , то нулевая гипотеза отвергается.

Замечание. Малочисленные частоты ( 5) следует объединить. При определении числа степеней свободы в качестве r следует принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Пример.

Контролировался диаметр у 150 цапф передней оси, изготовленных на токарном станке. В результате были получены значения положительных отклонений в микронах (мк) от номинального размера 20 мк:

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	39	34	33	48	51
44	50	47	34	33	48	40	46	50	43
44	50	40	40	35	34	41	42	42	47

Проверить согласие нормального закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .

Решение

1. Случайную величину обозначим X. Находим:

Возьмём h = 3мк. Левый конец первого интервала возьмём 24,5мк. Из приведённых значений найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

Таблица 1

i			i
1	24,5 - 27,5	1	6	39,5 - 42,5	29
2	27,5 - 30,5	4	7	42,5 - 45,5	29
3	30,5 - 33,5	13	8	45,5 - 48,5	16
4	33,5 - 36,5	23	9	48,5 - 51,5	11
5	36,5 - 39,5	22	10	51,5 - 54,5	2

2. построим гистограмму частот (рис1).

Рис. 1

3. Для каждого частичного интервала найдем . Вычислим значения и S по формулам (2) и (3).

Для удобства вычислений необходимые расчеты поместим в таблицу 2

Таблица 2

i
1	24,5-27,5	26	1	676	26	676
2	27,5-30,5	29	4	841	116	3364
3	30,5-33,5	32	13	1024	416	13312
4	33,5-36,5	35	23	1225	805	28175
5	36,5-39,5	38	22	1444	836	31768
6	39,5-42,5	41	30	1681	1230	50430
7	42,5-45,5	44	29	1936	1276	56144
8	45,5-48,5	47	16	2209	752	35344
9	48,5-51,5	50	10	2500	500	25000
10	51,5-54,5	53	2	2809	106	5618
∑			150		6036	249831

Получаем: ; S=5,8.

По виду гистограммы (рис.1) можно предположить, что исследуемый признак распределен нормально.

4. Найдем теоретические частоты, используя формулы (4) и (5) при :

Для первого интервала левый конец изменим на , а в последнем интервале правый конец изменим на + . Таким образом, первый интервал будет , а последний - . Расчёт приведён в таблице 3.

Таблица 3

i
1 2	27,5 27,5 30,5			0,39
3	30,5 33,5	13	11,0	0,36
4	33,5 36,5	23	20,2	0,39
5	36,5 39,5	22	27,8	1,21
6	39,5 42,5	30	30,6	0,01
7	42,5 45,5	29	24,4	0,88
8	45,5 48,5	16	15,4	0,02
9 10	48,5 51,5 51,5			0,00
		150		3,26

Приводим пример расчета значения :

и так далее.

5. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости

= 0,05 и числе степеней свободы Из таблицы (см. приложение 3) находим

В нашем примере , т.е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с нормальным законом распределения.

6. Для построения нормальной кривой по опытным данным находят ординаты (выравнивающие частоты ) по формуле

Значения функции находим в таблице приложения 5.

В прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что исследуемый признак распределен нормально.

Вычислим выравнивающие частоты для нашего примера. Имеем

Результаты вычислений поместим в таблицу 4.

Таблица 4

i
1	26	1	-2,48	0,02	1,6
2	29	4	-1,96	0,05	3,9
3	32	13	-1,45	0,14	10,8
4	35	23	-0,94	0,26	20,2
5	38	22	-0,41	0,37	28,7
6	41	30	0,10	0,39	30,3
7	44	29	0,62	0,33	25,6
8	47	16	1,14	0,21	16,3
9	50	10	1,66	0,09	7,0
10	53	2	2,17	0,04	3,1

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Долговечность деталей, час

Время

час

933

840

706

1074

998

1153

525

781

938

651

756

1011

953

856

768

1045

1023

818

802

1132

№

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

Время

час

926

790

848

1103

732

777

775

1054

717

502

627

690

963

873

430

1180

864

796

331

840

№

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

Время

час

860

744

947

626

1001

944

767

670

902

1320

610

733

819

860

945

680

790

942

610

1002

№

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

Время

час

639

809

1021

841

900

1110

663

976

970

551

610

804

812

1010

445

1094

721

340

901

501

№

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

Время

час

1110

950

861

205

640

957

852

681

894

739

1157

475

966

720

813

987

890

1056

380

304

№

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

Время

час

760

610

850

865

610

598

795

542

1047

962

840

694

958

1138

930

430

940

990

608

885

№

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

Время

час

1200

657

980

881

902

1030

570

832

864

797

553

745

689

917

865

1090

845

804

866

1038

№

100

Время

час

542

735

528

594

857

853

525

1250

690

1072

996

1295

718

980

740

1194

830

515

782

890

№

Продолжение таблицы приложения 1

Время

час

794

928

836

955

846

1084

688

1120

786

380

947

985

552

752

794

919

520

800

926

809

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!

© 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.279)

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	39	34	33	48	51
44	50	47	34	33	48	40	46	50	43
44	50	40	40	35	34	41	42	42	47

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	39	34	33	48	51
44	50	47	34	33	48	40	46	50	43
44	50	40	40	35	34	41	42	42	47

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	39	34	33	48	51
44	50	47	34	33	48	40	46	50	43
44	50	40	40	35	34	41	42	42	47