О свойствах произведений классов Локетта
Турковская А.В.,
студентка 5 курсаУО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь
Научный руководитель – Воробьев Н.Т., доктор физ.-мат. наук, профессор
Классом Фиттинга называется класс групп , удовлетворяющий следующим требованиям:
1) каждая нормальная подгруппа группы из также принадлежит ;
2) из N1 G и N1 Î , N2 G и N2 Î всегда следует N1N2 Î .
Если непустой класс Фиттинга, то для любой группы существует наибольшая нормальная ‑подгруппа, которую называют ‑радикалом.
Для описания свойств произведений классов Фиттинга [1] мы будем использовать оператор Локетта « » [2]. Напомним, что если – произвольный непустой класс Фиттинга, то – наименьший из классов Фиттинга содержащий , такой, что для любых групп G и H справедливо равенство [2]. Следует отметить, что классом Локетта называют класс Фиттинга такой, что [3, с.681]. В частности, класс Фиттинга является классом Локетта, так как [3, с. 679].
Нами получены свойства произведений классов Локетта, которые представляет следующая
Теорема. Пусть , – такое непустое множество простых чисел, что , тогда:
1) ;
2) если – класс Фиттинга и L – группа минимального порядка в классе , то .
Доказательство.Покажем, что .
Ввиду [4, c.190] .
Докажем, что . Предположим, что это не верно. Тогда существует группа Х, такая, что и . Выберем среди таких групп группу G минимального порядка, то есть . Пусть M – максимальная нормальная подгруппа группы G. Так как и , то по индукции получаем, что и поэтому . По предположению M – максимальная нормальная подгруппа группы G. Ввиду максимальности нормальной p‑подгруппы и по определению ‑радикала .
|
|
Рассмотрим факторгруппу G/M . Так как , то G/M – главный фактор группы G. Заметим, что [4, с. 48] и [4, с. 44]. По условию .Следовательно, по определению произведения классов Фиттинга получаем . Итак, .
Если , то . Значит, . Следовательно, и . Последнее противоречит выбору группы G.
Если , то . Следовательно, . Следовательно, по определению произведения классов Фиттинга . Получили противоречие с выбором группы G.
Полученные противоречия доказывают, что .
Значит, и утверждение 1 доказано.
Докажем утверждение 2. Предположим, что . По условию . Рассмотрим факторгруппу , принадлежащую классу всех разрешимых p‑групп. Отметим, что . Следовательно, по индукции получаем, что . Так как , то . По определению произведения классов Фиттинга получаем . В виду ассоциативности . Значит, . Последнее противоречит выбору группы L.
Полученное противоречие доказывает, что .
Теорема доказана.
Литература:
1. Blessenohl, D. Über normale Schunk und Fittingklassen / D. Blessenohl, W. Gaschütz. – Math. Z. – Bd. 148, № 1, 1970. – S. 1–8.
|
|
2. Lockett, P. The Fitting class / P. Lockett. – Math. Z. 137, 1974.– 131‑136 p.
3. Doerk, K. Finite soluble groups/ K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin; New York de Gruyter, 1992. – 893 p.
4. Монахов, С.В. Введение в теорию конечных групп и их классов / С.В. Монахов. – Мн.: Высшая школа, 2006. – 207с.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!