Математическая статистика измерений
С точки зрения математической статистики партию сырья, готовой продукции или отходов можно рассматривать как генеральную совокупность с несколько различными значениями качественных показателей. Результаты анализов отобранных проб из данной партии материала можно рассматривать как выборочную (конечную) совокупность. Изменения качественных показателей сырья и готовой продукции в силу ряда причин происходят случайно и подчиняются законам случайной вариации.
Важной задачей при изучении статистических совокупностей является нахождение приближенного выражения для функции распределения или плотности вероятности по эмпирическому материалу. Измеренные параметры для каждой пробы выборочной совокупности с учетом разных величин показателя, а также случайных и систематических погрешностей будут иметь несколько различные величины параметра l(или рассматриваемых параметров l1, l2, l3, …lj,…, lk).
Генеральная совокупность характеризуется генеральной пробой, состоящей из n элементарных проб (численность выборочной совокупности).
Таким образом, каждый параметр lj характеризуется числом значений измерений данного параметра n.Каждое из измеренийlj1, lj2, lj3,…, ljn; содержит соответственно случайные погрешности δ1, δ2, δ3,…, δn; причем погрешности lj будут иметь вид
lj1 = Мj + δ1; lj2 = Мj + δ2; lj3 = Мj + δ3;…; ln = Мj + δjn, (2.3)
где Мj – истинное значение параметра в генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание данного параметра.
|
|
В связи с тем что истинное значение Мjнеизвестно, принимаем вместо него некоторое значение Lj, являющееся наилучшим приближением к истинному и определяемое отдельными измерениями l1, l2, l3,…, ln:
Lj = F (l1, l2, l3,…, ln). (2.4)
Наилучшее определение Lj:
L = . (2.5)
Величина pназывается массой измерений (масса материала, к которому относится анализируемая проба), а величина L – взвешенным средним материалом.
Отклонения отдельных измерений от среднего результата обозначают через u:
u1 = l1 – L;
u2 = l2 – L;
… … … .
un = ln – L.
Эти отклонения называются остаточными погрешностями.
Взвешенное среднее имеет следующие свойства:
= 0; = min.
Если массы отдельных партий материала, от которых взяты пробы, одинаковы, то в этом случае
(2.6)
Арифметическое среднее значение имеет следующие свойства:
|
|
= 0; = min. (2.7)
Второе свойство лежит в основе метода обработки наблюдений, называемого "способом наименьших квадратов".
Теория случайных погрешностей основывается на двух положениях:
при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;
малые погрешности случаются чаще, чем большие; очень большие погрешности не встречаются.
Если результаты измерений освобождены от систематических погрешностей, то при неограниченном увеличении числа измерений среднее арифметическое стремится к истинному значению измеряемой величины, а остаточные погрешности – к случайным погрешностям.
Следовательно, все теоретические выводы и предположения, относящиеся к случайным погрешностям, можно применять при достаточно большом числе измерений к остаточным погрешностям.
При повторных измерениях частота появления равных по величине случайных погрешностей подчиняется закону нормального распределения случайных погрешностей и выражается уравнением
у = , (2.8)
|
|
где y–частота появления случайных погрешностей определенного значения δ; σ – средняя квадратичная погрешность ряда измерений,
sj = . (2.9)
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 190; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!