Теоремы сложения и умножения вероятностей

Стр 1 из 2Следующая ⇒

ВАРИАНТЫ

Индивидуальных контрольных заданий

По I разделу курса «Случайные события»

Номер варианта

(по списку)

Номер задачи

1.2

1.47. г)

2.4

2.35

3.7

4.15

1.6

1.65

2.5

2.26

3.11

4.17

1.8

1.55 а)

2.9

2.44

3.17

4.10

1.20.б)

1.55 б)

2.31.

2.13(а)

3.20

4.18

1.9

1.50

2.15(б)

2.45 б)

3.23

4.22

1.13(а)

1.58

2.8(в)

2.45 в)

3.15

4.4

1.16(а,в)

1.28.д)

2.15(в)

2.38

3.24

4.13

1.3

1.48

2.16

2.39

3.21

4.19

1.17

1.55 в)

2.18

2.40

3.9

4.7

1.7(б)

1.56

2.20

2.41

3.18

4.26

1.20 а)

1.51 а)

2.15(г)

2.42

3.13

4.14

1.4(а)

1.37

2.11

2.43

3.36

4.2

1.21

1.46.

2.12(б)

2.50

3.12

4.27

1.33.

1.5

2.13(б)

2.47 в)

3.16

4.12

1.23

1.52 а)

2.8(а)

2.36

3.1

4.28

1.36

1.53 а)

2.15 д)

2.47 г)

3.35.

4.6

1.14 а)

1.54 а)

2.10

2.45 г)

3.3

4.29

1.24

1.46.

2.22(а)

2.38

3.25

4.30

1.26

1.57

2.19

2.33

3.19

4.31

1.13(б)

1.41

2.22(б)

2.37

3.22

4.32

1.21.

1.61

2.17

2.49

3.6

4.20

1.4(б)

1.62

2.6

2.36

3.26

4.3

1.27

1.63

2.21

2.45 а)

3.27(а, б)

4.33

1.30(в)

1.51 б)

2.34

2.7

3.33

4.34

1.16(б)

1.52 б)

2.13 в)

2.47 а)

3.5

4.35

1.12

1.25

2.8(б)

2.47 б)

3.10.

4.21

1.10

1.47. д)

2.28

2.48

3.14

4.16

1.7(а)

1.28.в)

2.12(а)

2.25

3.34.

4.9

1.19.

1.60 б)

2.30

2.43

3.38.

4.37

1.40.

1.49 б)

2.29

2.39

3.37.

4.38

1.14 в)

1.49 в)

2.51

2.33

3.22

4.40

1.14 г)

1.54 б)

2.13(а)

2.35

3.4

4.41

1.14 д)

1.48

2.8(г)

2.40

3.39 а,б)

4.42

1.11(б,в)

1.59

2.15(а)

2.41

3.39 а,в)

4.39

1.14. б)

1.60 а)

2.13(г)

2.42

3.39 а,г)

4.44

Тема 1. Случайные события и их вероятности

Задачи.

1.1. На шести карточках разрезной азбуки написаны буквы К, А, Р, Е, Т, А. После того, как их тщательно перемешают, берут наудачу по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что:

а) при случайном отборе и расположении всех этих карточек в ряд получится слово "РАКЕТА"?

б) при случайном отборе и расположении 3-х из этих карточек в рядполучится слово "РАК"?

1.2. Из разрезной азбуки выкладывается слово "СТАТИСТИКА". Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке.

Какова вероятность того, что снова получится слово "СТАТИСТИКА"?

1.3. Из разрезной азбуки составлено слово "КОЛОБОК". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 3 из них и собрал в произвольном порядке.

Найти вероятность того, что у него появится слово "КОЛ".

1.4. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что в нем:

а) все цифры различны;

б) все цифры нечетные;

б) все цифры различны и четные?

1.5. По линии связи в случайном порядке передаются 30 знаков алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово “РЕЖИМ”.

1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две ц wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwиф ры и, помня лишь, что они различны, набрал эти цифры наудачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер?

1.7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на четвертом этаже;

б) все пассажиры выйдут одновременно (на одном этаже);

в) все пассажиры выйдут на разных этажах.

1.8. В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

1.9. Наугад выбирается пятизначное число. Какова вероятность того, что:

а) число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 17371);

б) число кратно 5;

в) число состоит из нечетных цифр.

1.10. В понедельник в институте запланировано 3 лекции по различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе.

Какова вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из трех предметов равновозможно? Рассмотреть вероятности угадывания просто предметов и предметов в порядке их следования по расписанию.

1.11. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется:

а) по крайней мере одна кость с пятью очками;

б) хотя бы одна кость с 5 или 6 очками?

в) только одна кость с 5 или 6 очками?

1.12. Из 10 первых букв русского алфавита (А,Б,В,Г,Д,Е,Ё,Ж,З,И) наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Какова вероятность того, что:

а) в состав нового алфавита входит буква А;

б) в состав нового алфавита входят только согласные буквы?

1.13. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на конференцию. Найти вероятность того, что:

а) будут выбраны одни третьекурсники;

б) д вое первокурсников попадут на конференцию;

в) не будет выбрано ни одного второкурсника.

1.14. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность следующих событий:

а) в полученной выборке все карты трефовой масти;

б) в полученной выборке окажется хотя бы один король;

в) среди них будут две карты бубновой (♦) масти и две карты черной (♠, ♣) масти;

г) окажутся все карты одной масти;

д) окажутся один король, один валет и две дамы.

1.15. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток.

Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – 1 час, а второго – 3 часа.

1.16. На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом среди 10 студен тов, сидящих рядом друг с другом в одном ряду. Найти вероятность того, что:

а) варианты с номерами 4 и 5 останутся неиспользованными;

б) варианты 5 и 10 достанутся рядом сидящим студентам;

в) будут распределены последовательные номера вариантов.

1.17. Среди 10 студентов, случайным образом занимающих очередь за учебниками в библиотеку, находятся две подруги. Какова вероятность того, что в образовавшейся очереди между подругами окажется 4 человека?

1.18. Из общего количества костей (28 штук) домино извлекли одну кость. Оказалось, что это не дубль.

Какова вероятность того, что вторую извлеченную кость можно будет приставить к первой?

1.19. В подъезде дома установлен кодовый замок. Дверь автоматически отпирается, если одновременно нажать на 3 кнопки с цифрами кода из имеющихся 10 кнопок. Какова вероятность того, что человеку, не знающему код, удастся с первого раза открыть дверь?

1.20. В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр. Найти вероятность того, что:

а) четыре последние цифры телефонного номера одинаковы;

б) все четыре последние цифры телефонного номера различны.

1.21. В ящике имеется 15 деталей, из которых 9 окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окрашены.

1.22. Группа из 8 юношей и 8 девушек делится случайно на две равные части. Какова вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну?

1.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8, а разность – 4.

1.24. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на второй извлеченной карточке будет больше, чем число на первой.

1.25. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов, из которых студент знает только 10. Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.

1.26. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из 4 вопросов билета. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент:

а) сдаст зачет;

б) не сдаст зачет.

1.27. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными.

1.28. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре случайно, определить вероятности следующих событий:

а) во всех разрядах стоят нули;

б) во всех разрядах стоят одни и те же цифры;

в) регистр содержит только две одинаковые цифры;

г) регистр содержит только две пары одинаковых цифр;

д) регистр содержит только три одинаковые цифры.

1.29. Из 7 яблок, 3 апельсинов и 5 лимонов случайным образом в пакет отбирается 5 фруктов. Какова вероятность того, что:

а) пакет не содержит апельсинов;

б) в пакете только один апельсин;

в) в пакете окажется 2 яблока;

г) в пакете окажется хотя бы 1 лимон?

1.30. Путем жеребьевки среди 12 участников (каждый может получить не более одной подписки) разыгрываются 6 подписных изданий. Какова вероятность того, что из списка участников подписку получат:

а) первые шесть человек;

б) первые три человека;

в) первый человек;

г) первый и третий человек?

1.31. Наудачу подбрасывают три разноцветные игральные кости. Определить вероятности того, что:

а) на трех костях выпадут разные грани;

б) хотя бы на одной из костей выпадет шестерка?

1.32. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей. Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша. Определить вероятности того, что окажется не вынутым:

а) синий карандаш;

б) зеленый карандаш;

в) красный карандаш?

1.33. В ящике 10 красных и 5 жёлтых пуговиц. Какова вероятность того, что наудачу вынутые 2 пуговицы будут одного цвета?

1.34. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь:

а) ровно две окрашенные грани;

б) три окрашенные грани.

1.35. Найдите вероятность выигрыша автомобиля в лотерее. Условия игры: на каждой карточке 20 ячеек, в 10 из которых скрыты буквы, образующие слово «автомобиль» (на каждой карточке есть эти буквы). Надо открыть ровно 10 ячеек, и если открывшиеся буквы образуют слово «автомобиль» (буквы могут располагаться в любом порядке) - Вы выиграли. Какова вероятность выигрыша?

О			Ь	О
		В		И
М	А		Б
	Л	Т

1.36. Имеется 10 книг, среди которых трёхтомник Пушкина. Книги случайным образом выставляются на книжную полку. Какова вероятность:

а) что все три тома Пушкина окажутся рядом в любом порядке нумерации томов;

б) что все три тома Пушкина окажутся рядом в порядке возрастания нумерации томов;

1.37. Чтобы добраться в институт, Петр может воспользоваться автобусом одного из двух маршрутов. Автобусы первого маршрута следуют с интервалом в 18 мин., второго маршрута – с интервалом в 15 мин. Найти вероятность того, что Петр будет ждать автобуса не более 10 мин.

1.38.Петя, Маша и Вася договорились встретиться в большой перерыв, который длится час, около библиотеки. Никто из них не смог точно указать время своего прихода, поэтому они договорились ждать друг друга не более 10 мин. Найти вероятность того, что:

а) они все встретятся;

б) по крайней мере, двое из них встретятся.

1.39. На малом предприятии работает десять семейных пар. Чтобы никому не было обидно, на ежегодном собрании акционеров случайным образом выбирают совет директоров, состоящий из восьми человек. Найти вероятность того, что:

а) в совете директоров отсутствуют семейные пары;

б) в совете директоров ровно одна семейная пара;

в) в совете директоров ровно две семейные пары.

1.40. Петя и Маша приглашены на день рождения в компанию из 10 человек, включая их, но приходят на него порознь, причем, как и остальные гости, в случайное время и, таким образом, рассаживаются случайным образом. Найти вероятность того, что они будут сидеть рядом (в том числе рядом по разные стороны одного угла), если прямоугольный стол:

а) стоит в середине комнаты;

б) придвинут к стене.

1.41. В круг радиуса R наудачу бросается точка. Какова вероятность, что взятая точка окажется от центра круга на расстоянии, большем, чем R/2?

1.42. На горизонтальном диаметре круга радиуса R наугад берется точка. Затем через эту точку проводится хорда, перпендикулярная диаметру. Найти вероятность того, что длина хорды не превосходит R.

1.43. На верхней полуокружности радиуса R наудачу берется точка. Затем через эту точку проводится хорда, перпендикулярная горизонтальному диаметру. Какова вероятность, что длина хорды не превосходит R?

1.44. Отрезок длины l ломается в двух наугад взятых точках. Какова вероятность того, что из трех полученных отрезков можно построить треугольник?

1.45. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше l можно построить треугольник?

1.46. Три студента едут домой в одном поезде метро. В каждом из трех вагонов поезда ровно k мест, и каждый из студентов может занять любое из них. Найти вероятность того, что студенты окажутся в разных вагонах.

1.47. Найти вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам первый из них получит ровно n пар “король и туз одной масти”:

а) n = 0, б) n = 1, в) n = 2, г) n = 3, д) n = 4.

1.48. Группа, состоящая из 3-х девушек и 6 юношей, делится случайным образом на три равные группы. Какова вероятность, что в каждой из них окажется девушка?

1.49. (Задача о встрече) Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждет 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.

а) Какова вероятность того, что они встретятся?

б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого? а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?

в) Как изменится вероятность встречи, если Жени решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

1.50. В прямоугольник с вершинами А(1;1), В(1;3), С(4;3), D(4;1) наудачу брошена точка К(х;у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у<х-1.

1.51.В круг радиуса R наудачу бросается точка. Какова вероятность, что точка окажется:

а) внутри вписанного в окружность правильного треугольника?

б) вне вписанного в окружность правильного треугольника?

1.52. В квадрат со стороной а случайным образом бросается точка. Какова вероятность, что точка окажется:

а) внутри вписанной в квадрат окружности?

б) вне вписанной в квадрат окружности?

1.53.В круг радиуса R наудачу бросается точка. Какова вероятность, что точка окажется:

а) внутри вписанного в окружность квадрата?

б) вне вписанного в окружность квадрата?

1.54.В круг радиуса R наудачу бросается точка. Какова вероятность, что точка окажется:

а) внутри вписанного в окружность правильного шестиугольника?

б) вне вписанного в окружность правильного шестиугольника?

1.55. Начерчены 5 концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1,2,3,4,5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В большом круге радиуса 5r наудачу выбирается точка. Определить вероятность попадания этой точки:

а) в любое белое (не заштрихованное кольцо);

б) в среднее заштрихованное кольцо (с внешним радиусом 3r);

в) в заштрихованную область.

1.56. Пусть х₁ и х₂ – действительные корни квадратного уравнения х²+ bх+с=0. При этом -2≤b ≤3; -1≤c ≤2. Определить вероятность того, что произведение корней больше их суммы, т.е. х₁∙х₂>х₁+х₂.

1.57. Из колоды в 36 карты наугад берут три карты. Найти вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одинаковую масть?

1.58. Из колоды в 36 карт случайным образом извлечено 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 красных (♥,♦) карты и 2 карты с рисунком (валет, дама, король или туз).

1.59. Лотерея Кено. В лотерее участвует 80 пронумерованных от 1 до 80 шаров. Случайным образом выпадает 20 шаров из 80. Какова вероятность того, что из выпавших 20-и шаров будет присутствовать хотя бы один из шаров - шар под номером 1 или шар под номером 2?

1.60. Лотерея «Спортлото» - одна из популярнейших лотерей 80-х.

Участник лотереи «Спортлото» должен был угадать 6 из 49 наименований видов спорта. Выигрыш зависел от того, сколько видов спорта ему удалось угадать. С какими вероятностями были возможны проигрыш в лотерее и выигрыши:

а) четного числа видов спорта?

б) нечетного числа видов спорта?

1.61. На детских кубиках написаны буквы, образующие слово «ГИПЕРБОЛА».

Кубики перемешиваются и извлекаются в случайном порядке друг за другом, образуя некое (не обязательно осмысленное) слово. Какова вероятность, что при извлечении 5 кубиков получится «слово», состоящее из 3 согласных и 2 гласных.

1.62. На детских кубиках написаны буквы, образующие слово «ТРЕУГОЛЬНИК».

1.63. Какова вероятность, что при случайном составлении числа из 7 пятерок и 3 четверок (например, 5545545545):

а) все три четверки окажутся рядом?

б) только 2 четверки окажутся рядом?

1.64. На детских кубиках написаны буквы, образующие слово «УРАВНЕНИЕ».

Кубики перемешиваются и извлекаются в случайном порядке друг за другом, образуя некое (не обязательно осмысленное) слово. Сколько различных 5-буквенных слов, состоящих из 3 гласных и 2 согласных, можно составить из 5 кубиков?

1.65. На детских кубиках написаны буквы, образующие слово «МАСКАРАД».

Тема 2. Сложные события и их вероятности

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задачи.

2.1. Из урны, содержащей 5 синих, 3 черных и 2 белых шара, извлекаются одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут разных цветов.

2.2. Из полной колоды карт (36 шт.) извлекают случайным образом 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей:

а) в условиях выбора без возвращения карт обратно в колоду;

б) в условиях выбора с возвращением каждой извлечённой карты обратно в колоду;

2.3. Каждая буква слова МАТЕМАТИКА написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последовательно случайным образом извлекаются 4 карточки. Какова вероятность получить при извлечении слово ТЕМА?

2.4. Номер серии выигрышного билета лотереи состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что первый номер выигравшей серии будет состоять только из нечетных цифр.

2.5. Условиями приема партии деталей допускается не более одной бракованной детали из пяти. Найти вероятность того, что партия из 10 деталей, среди которых 3 бракованных, будет принята при испытании выбранной наудачу половины всей партии.

2.6. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта?

2.7. Вероятность только одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

2.8. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

б) все три станка потребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

2.9. Агрегат имеет три двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выхода из строя первого двигателя равна 0,01, второго – 0,02, третьего – 0,03. Какова вероятность выхода агрегата из строя.

2.10. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится

а) с возвращением;

б) без возвращения.

2.11. При раздаче колоды карт в 52 карты четырем игрокам (полностью) один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на невезение? Какова вероятность такого события?

2.12. Радист трижды вызывает корреспондентов. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов равна 0,2; второй – 0,3; третий – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что i-й по счету вызов (i = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) вообще услышит радиста;

б) не услышит радиста.

2.13. В театральной кассе к некоторому моменту времени остались: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет в любой из возможных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что:

а) куплены билеты в разные театры;

б) куплены билеты в какой-нибудь один театр;

в) все билеты в театр эстрады распроданы;

г) билет в театр комедии куплен раньше, чем билет в театр эстрады.

2.14. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения положительной оценки необходимо решить 2 задачи. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только 1 правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?

2.15.Наудачу подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность того, что:

а) сумма выпавших очков четна;

б) произведение очков четно;

в) на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно;

г) ни на одной из костей не выпало 6 очков?

д) на обеих костях выпало одинаковое число очков?

2.16. Вероятность улучшить свой прежний результат для данного спортсмена равна p. Найти вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается сделать 2 попытки.

2.17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места. Как изменится вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?

2.18. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более пяти изделий последовательно друг за другом. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в ней составляет 4%.

2.19.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что с двух выстрелов цель будет поражена.

2.20. В механизм входят 2 одинаковые детали. Механизм не будет работать тогда, когда обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из которых 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать, если детали извлекаются случайно.

2.21. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,15; второй – 0,05; третий – 0,02. Определить вероятность того, что в течение года в компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые?

2.22. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 0,8, стрелок В – с вероятностью 0,7 и стрелок С – с вероятностью 0,6. Был сделан залп по мишени одновременно всеми стрелками, в результате чего 2 пули попали в цель. Найти вероятность того, что:

а) стрелок С попал в цель;

б) стрелок С не попал в цель.

2.23. Вероятность того, что проходящая мимо бензоколонки машина подъедет к заправке, равна 0,4. Сколько машин должно пройти мимо заправки, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы одна из них потребует заправки?

2.24. Сколько раз нужно бросить две игральные кости, чтобы с вероятностью не меньше 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?

2.25.Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6; груши – 0,5; винограда – 0,4. В саду было посажено по одному дереву каждого вида. Прижилось два саженца. Какое событие при этом более вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?

2.26. Производится подбрасывание игральной кости до появления 6 очков на верхней грани. Найти вероятность того, что придется сделать 5 подбрасываний?

2.27.Два стрелка производят стрельбу по мишени, вероятности попадания в которую для каждого из них одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что при трех выстрелах у первого стрелка будет больше попаданий, чем у второго?

2.28. На полке имеется 15 тетрадей, из которых 3 в линейку, а остальные – в клетку. Найти вероятность того, что при случайном изымании трех тетрадей не более двух из них будет в клетку.

2.29.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было ожидать, что среди них есть хотя бы один промах?

2.30.Вероятность того, что студент ответит на теоретический вопрос билета равна 0,9, решит предложенную задачу – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, состоящий из одного теоретического вопроса и двух задач, если для этого необходимо обязательно ответить на теоретический вопрос и решить хотя бы одну задачу?

2.31. Вероятность успешной сдачи экзамена по математической статистике равна 0,7, а при каждой следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математической статистике, если пересдавать экзамен можно не более двух раз?

2.32.Команда состоит из двух стрелков. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Каждому в случае промаха разрешено сделать еще один выстрел. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?

2.33. В продаже имеется 50 альбомов по 50 копеек, 30 альбомов – по 70 копеек и 20 альбомов – по 1 рублю. Какова вероятность того, что стоимость двух купленных альбомов не превысит 1,5 рубля?

2.34.Имеется пять ключей, из которых только один подходит к двери. Ключ подбирается наудачу. Какова вероятность того, что для открывания двери придется сделать не более двух проб?

2.35. Фирма по продаже компьютеров проводит рекламную кампанию нового модельного ряда по радио и телевидению. При оценке эффективности рекламы выяснилось, что, в среднем, более 80% населения видели рекламу по телевидению (событие А), и более 40% - слышали по радио (событие В). Проверить справедливость следующих утверждений:

а) А и В несовместны,

б) А и В противоположны,

в) Р(АВ) > 0,2.

2.36. В коробке 12 новых теннисных мячей. Для игры берут 3 мяча, после игры возвращают их обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность, что после 4-х игр в коробке не останется новых мячей.

2.37. В урне 4 белых и 5 чёрных шаров. Два игрока по очереди вытаскивают шары до появления белого шара. Тот, кто первым вытащит белый шар – выигрывает. Какова вероятность, что выиграет первый игрок?

2.38. Исследование, проведенное маркетинговой службой компании, показало, что, в среднем, 10% клиентов не довольно качеством оказываемых компанией услуг. Сколько клиентов должна обслужить компания, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы один из них будет не доволен качеством оказываемых услуг?

2.39. Студент знает к зачету только 15 вопросов из 30. Он считает, что если пойдет отвечать вторым, то его шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Прав ли он? Докажите.

2.40. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фирме «А» 5 сотрудников списочного состава в 40 человек — «мертвые души». Проверяющий инспектор утверждает, что для обнаружения хотя бы одной «мертвой души» ему достаточно проверить 6 наугад выбранных нарядов на выполненные работы. Какова вероятность этого события?

2.41. Студент ищет работу. Он побывал на собеседовании в банке и в страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0,2, в страховой компании – в 0,1. Какова вероятность того, что: а) студент устроится на работу; б) студент получит предложение только из одного места?

2.42. Машина оснащена электронной сигнализацией и механической блокировкой рычага переключения передач. Вероятность того, что угонщик справится с сигнализацией, составляет 0,1; сломает блокиратор – 0,2. Сколько попыток должен предпринять угонщик, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно утверждать, что хотя бы одна из них будет успешна?

2.43. Менеджер по кадрам ищет сотрудника с высшим экономическим образованием и опытом работы на замещение вакансии начальника отдела долговых обязательств. По своему опыту он знает, что в среднем 70% претендентов имеют высшее экономическое образование, и 30% - опыт руководящей работы и эти события независимы. Сколько резюме должен просмотреть менеджер по кадрам, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98, хотя бы один претендент удовлетворял обоим требованиям к вакансии?

2.44. А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдет, когда револьвер будет у А.

2.45. Игроки поочередно подбрасывают монетку, пока не появится «орёл» - тогда игрок выигрывает. Какова вероятность выигрыша у каждого из игроков, если играет:

а) 2 человека;

б) 3 человека;

в) 4 человека;

г) n игроков.

2.46. Старинная задача.

Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковый размер обуви, надевают калоши в темноте. Каждый их них может отличить правую калощу от левой, но не может отличить свои от чужих. Какова вероятность, что:

а) каждый гость наденет свои калоши;

б) каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (не обязательно свои).

2.47. Из колоды 36 карт наудачу извлекается 4 карты. Если рассмотреть варианты возвращения каждой извлеченной карты обратно в колоду и выбор без возвращения, какова вероятность, что:

а) это будут 4 туза;

б) не окажется ни одной карты красной масти (♥,♦);

в) будет 2 бубновых карты и две пиковых;

г) будет хотя бы одна карта трефовой масти.

Задачу решить с использованием теорем сложения-умножения вероятностей (можно проверить себя комбинаторикой).

2.48. Найти число изделий в партии, если известно, что она состоит из изделий 1-го и 2-го сорта, при этом, если из этой партии взять наугад два изделия, то вероятность того, что:
- оба изделия 1-го сорта, равна 15/26;
- разных сортов 5/13.

2.49.Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,2, причем независимо от других магазинов. Требуется определить минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день.

2.50. Правильным икосаэдром называется правильный двадцатигранник, все грани которого совершенно равноправны. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Некоторые из граней окрашены в красный цвет, а остальные в синий. Если при бросании икосаэдра обнаружилось, что вероятность его остановки на красной грани в четыре раза больше вероятности его остановки на синей грани, то сколько его граней окрашено в красный цвет?

2.51. Администрация магазина, торгующего косметикой, провела исследование и установила, что из всех покупателей, посещающих их магазин и сделавших покупки, 70% приобретают духи/туалетную воду (событие А), 65% - декоративную косметику (событие В), а 55% - покупают и то, и другое.

а) Какова вероятность, что случайно взятый покупатель приобрел хотя бы одну из этих позиций?

б) Какова вероятность, что покупатель приобрел только декоративную косметику? (что это за комбинация событий А и В?)

в) Каков процент покупателей, приобретающих что-то другое?

(Вспомните диаграммы Эйлера-Венна)

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Задачи.

3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке №1, 10 изготовлено на станке №2, остальные – на станке №3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке №1 равна 0,96, на станке №2 – 0,98. Вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,8.

а) Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке №3.

б) Какова вероятность того, что извлеченная при случайном отборе стандартная деталь изготовлена на станке №2?

3.2. На сборку поступили детали с 4 автоматов. Второй дает 40%, а третий 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с четвертого автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?

3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 – с вероятностью 0,5; и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по одной детали, среди которых было обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит третьей партии.

3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?

3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что:

а) число бракованных изделий равно 6;

б) взятое бракованное изделие единственно.

3.7. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 12, а во втором – 15 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй ящик одна деталь.

а) Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной;

б) Какова вероятность того, что из первого ящика во второй переложили стандартную деталь, если наудачу извлеченная из второго ящика деталь оказалась стандартной?

3.8.В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, остальные – вторым. Известно, что 3% ламп первого и 5% ламп второго завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампа - стандартная?

3.9. Имеется 5 урн: в первой и второй – по 2 белых и 3 чёрных шара, в третьей и четвёртой – по 1 белому и 4 чёрных шара, в пятой урне – 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны извлекли шар. Он оказался белым. С какой вероятностью он был извлечён из пятой урны?

3.10. В соответствии со статистикой некоторого банка 15% кредитов предоставляется другим банкам, 20% - государственным организациям, остальные – прочим клиентам. Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок составляет для них 0,03, 0,02 и 0,1 соответственно.

а) Определить общую долю невозвратов.

б) Какова вероятность того, что полученное банком уведомление о неисполнении обязательств по возврату кредита прислано государственной организвцией?

3.11. Имеется два ящика изделий, причем в первом ящике все изделия доброкачественны, а во втором только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?

3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество деталей с четырех предприятий, взяли на проверку одну деталь. Продукция двух предприятий содержит по 3/4 доброкачественных деталей, а продукция остальных предприятий по 7/8 доброкачественных деталей.

а) Какова вероятность обнаружения бракованной продукции?

б) Какова вероятность того, что обнаруженное бракованное изделие изготовлено на предприятии, продукция которого содержит 3/4 доброкачественных деталей?

3.13. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекаются и перекладываются во второй ящик две детали. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной.

3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло 10 мужчин и 40 женщин.

а) Какова вероятность того, что наудачу обследованный человек оказался дальтоником.

б) Какова вероятность того, что это мужчина?

3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8;

7 – с вероятностью 0,7;

4 – с вероятностью 0,6;

2 – с вероятностью 0,5.

Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05.

а) Какова вероятность того, что изделие пройдет упрощенный контроль?

б) Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.

3.17. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. В общем 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор создан из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного качества – 0,7.

а) Какова вероятность безотказной работы прибора?

б) Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей, если он испытывался в течение времени t и работал безотказно.

3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9 и 0,9.

а) Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

б) какова вероятность того, что обнаруженный сбой произошел в оперативной памяти?

3.19. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, двое знают 20 билетов из 30; один успел повторить только 15 билетов; остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1.

3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Какое предположение о степени его подготовленности наиболее вероятно и какова его вероятность?

3.21. В продажу поступают телевизоры с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. В магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего.

а) Какова вероятность приобрести исправный телевизор?

б) Какова вероятность того, что приобретенный исправный телевизор изготовлен на втором заводе?

3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить либо кровь той же группы, либо кровь 1-й группы; человеку с 1-й группой крови можно перелить кровь только 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют 1-ю группу крови, 37,5% - 2-ю группу, 20,9% - 3-ю группу и 7,9% - 4-ю группу. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

3.23. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча, которые после игры возвращают обратно в ящик. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров, а 30% - для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, на экспорт отправляется 40%. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белых телевизоров, будет отправлен на экспорт.

3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий:

10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных и 2 нестандартных;

5 партий по 8 изделий, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных;

5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных и 1 нестандартная.

Из наудачу выбранной партии извлекается одно изделие.

а) Какова вероятность того, что оно нестандартная?

б) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие, оказавшееся нестандартным, принадлежит последней партии.

3.26. Три машинистки перепечатывают рукопись. Первая напечатала 1/3 все рукописи, вторая – 1/4 всей рукописи, а третья напечатала остальное. Вероятность того, что первая машинистка сделает ошибку равна 0,15; вторая – 0,1; третья – 0,1.

а) Какова вероятность того, что при проверке будет обнаружена ошибка.

б) Найти вероятность того, что обнаруженная ошибка допущена первой машинисткой.

3.27.Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта при приеме равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02.Найти вероятность того, что:

а) деталь будет принята системой контроля;

б) принятая деталь окажется с дефектом;

в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.

3.28.Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось.

3.29.Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?

3.30.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар, и после тщательного перемешивания один шар извлекается. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов равны 0,05, 0,03 и 0,02 соответственно. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

3.32.Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, завода №2 – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

3.33. Колода из 36 карт разбита на две кучки по 18 карт. В первой кучке оказалось 8 карт пиковой масти, а во второй – одна. Каждая кучка тщательно перетасовывается, затем из первой во вторую, не глядя, перекладывают 2 карты, и вторая кучка снова тасуется. После этого из второй кучки извлекают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковой масти.

3.34. По данным статистики, в среднем 65% посетителей гипермаркета составляют женщины и на 35% – мужчины. Причем, по результатам исследования, выяснилось, что покупки совершают 50% женщин и 80% мужчин.

а) Какова вероятность того, что случайно взятый покупатель окажется мужчиной?

б) Какова вероятность того, что он окажется женщиной?

3.35. Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 3/10; вероятность попадания в него в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 1/5. Какова вероятность поражения противника при трех выстрелах?

3.36. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке — фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка.

а) Какова вероятность того, что эта фамилия принадлежит мужчине?

б) Если предположить, что выбранная фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

3.37. Вероятность прибыльной торговли торговца квасом при солнечной погоде равна 90%, при переменной облачности – 50%, в дождливую погоду – 5%. По прогнозам синоптиков летом вероятность солнечной погоды составляет 70%, переменной облачности – 20%, в дождливую погоду – 10%.

а) Найти вероятность того, что продавец кваса получит прибыль.

б) По результатам работы за неделю продавец кваса остался в прибыли. Какова вероятность того, что в это время стояла дождливая погода?

3.38. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая».

а) Какова вероятность того, что в настоящий момент индекс экономического состояния увеличился?

б) Какова в случае увеличения индекса экономического состояния вероятность того, что экономика страны на «хорошем» уровне?

3.39. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ и 10% — в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров - 60%, на международных — 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он:

а) бизнесмен;

Если он оказался бизнесменом, то какова вероятность, что он:

б) прибыл из стран СНГ;

в) прилетел местным рейсом;

г) прибыл международным рейсом.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1073; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!