Нормальный закон распределения.
В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин.
НСВ Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ2 , если ее функция плотности вероятности имеет вид:
p(x) = , -∞<x<+∞.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или кривой Гаусса.
Для СВ, распределенной по нормальному закону
M(X) = a ,
D(X) = 𝜎².
Сложность нахождения функции распределения F(x) с использованием интеграла связи для нормального закона связана со сложностью нахождения интеграла вида:
F(x) =
Т.к. он не берется в элементарных функциях этот интеграл можно представить через функцию Лапласа.
Ф(х) =
Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле
F(x) =
Вероятность попадания значений НСВ Х в интервал [α,β] определяется формулой
P(α ≤ x ≤ β) = F(β)-F(α) = [Ф(
Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину 𝜎>0 (по абсолютной величине), равна
p(|x-a|≤δ)=p(a-δ≤ x ≤a+δ)= [Ф( = Ф( ).
«Правило трех сигм»: Если СВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и 𝜎², т.е. N(a;𝜎²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3𝜎; a+3𝜎)
|
|
P(|x-a|≤3𝜎) = Ф( ) = Ф(3) = 0,9973.
Закон больших чисел.
Под этим понятием скрывается ряд теорем, которые имеют большое значение в МС.
Ая теорема: Неравенство Маркова.
Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для положительного числа А верны неравенства:
p(x>A) ≤
p(x≤A) ≥ 1 -
Ая теорема: Неравенство Чебышева.
Для любой СВ Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию справедливо неравенство
P(|x-M(x)|>ɛ) ≤
P(|x-M(x)|≤ɛ) ≥ 1 -
Яя теорема: Теорема Чебышева.
Если СВ х1, х2, …,хn попарно независимы, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной величиной (D(x)≤C), то при неограниченном увеличении n(n→∞) и для сколь угодно малого числа ɛ имеет место равенство
Ая теорема: Теорема Бернулли.
Частость (частота) события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании.
|
|
Или
.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 181; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!