Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описаннымоколо окружности, а окружность - вписаннойв этот четырехугольник
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.
· В паралелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
· Если трапеция описана около окружности, то концы боковой стороны и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника
· Рассмотрим описанную трапецию с параллельными
сторонами АО и ВС. Тогда так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°, то ÐВСВ +Ð СДА = 180°. А поскольку лучи СО и ДО, где О — центр вписанной в трапецию окружности, являются биссектрисами углов ВСД и СВА соответственно, то ÐОСД + ÐСДО = 90° в, таким образом, в треугольнике ДОС угол с вершиной О является прямым.
Аналогично показывается, что треугольник ВОА также является прямоугольным, а это и доказывает требуемое.
· Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то в него можно вписать окружность
Пусть в четырехугольнике АВСД углы АВД и АСД равны. Проведем через точки А, В, С окружность и предположим, что вершина О лежит, например, внутри круга, границей которого является проведенная окружность (рис.а)). Продолжим отрезки ВД и СО до пересечения с окружностью в точках Д и 02 соответственно. Тогда АВО =1/2 дуги АД2Д1, а АСВ= ½ дуги АД2, что приводит к противоречию, так как по условию АВД = АСД. Итак, точка В должна лежать на окружности или находиться вне круга. Предположим, что она находится вне круга (рис. б)). Обозначим через Д1 и Д2 точки пересечения окружности с отрезками ВД иСО соответственно. Тогда АВД = ½ дуги АД1 , а АСД = 1/2 дуги АД2Д1 что, как и в первом случае, также вступает в противоречие с условием задачи. Вывод: точка Д является точкой окружности, описанной около четырехугольника АВСД. Обратно, если четырехугольник ВСВ вписан в окружность, то равенство углов АВД и АСД следует из того, что они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу.
|
|
Т э а р э м а (аб акружнасці, упісанай у правільны многа- вугольнік). У любы правільны многавугольнік можна ўпі- саць акружнасць, і прытым толькі адну.
Дадзена: А1А2А3…Ап — правільны многавугольнік.
Даказадь: існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка. Ён адзіны.
|
|
Доказ. 1. Дакажам існаванне. Няхай О — цэнтр акружнасці (рыс.
1) У ходзе доказу папярэдняй тэарэмы мы вызначылі, што
таму вышыні гэтых трохвугольнікаў, праведзеныя з вяршыні О, таксама роўныя: ОН1 = ОН2 = ... = ОНп.
2) Адсюль вынікае, што акруж- насць з цэнтрам О і радыусам ОН1 праходзіць праз пункты Н1,
Н2 , ... Нn і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пудктах, значыць, акружнасць упісана ў разглядваемы мно- гавугольнік.
2. Дакажам адзінкавасць. Дапусцім, што побач з акруж- насцю ω (О, ОН1) ёсць і другая акружнасць, упісаная ў мно- гавугольнік А1А2... Аn. Тады яе цэнтр О1 роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн.пункт О1 ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка і, такім чынам, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многа- вугольніка, г. зн. роўны ОН1. Такім чынам, другая акруж- насць супадае з першай.
Вынік 1. Акружнасць, упісаная ў правільны многаву- гольнік, датыкаецца да старон многавугольніка ў іх сярэдзінах.
Вынік 2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, супадае з цэнтрам акружнасці, утіісанай у той жа многавугольнік.
|
|
Гэты пункт называюць цэнтрам правільнага многавугольніка.
Теорема 7.2. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность (около окружности описать четырехугольник) тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство.
Пусть четырехугольник ABCD описан около окружности. Точки касания окружности со сторонами четырехугольника обозначим М , N, Р, Q (рис. 7.04). По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем: AM = AN, MD = DQ, BP = NB, PC = CQ. Складывая эти равенства, получим AM+MD + ВР + PC = AN+NB + CQ + QD, что означает AD + + ВС = AB + CD. Итак, если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
В |
Рис. 7.04 |
|
|
Рис. 7.05 |
А
Рис. 7. 06
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 474; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!