Основные свойства неопределённого интеграла
1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.
2. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.
3. Неопределённый интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с некоторой произвольной постоянной.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.
5. Неопределённый интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых.
Таблица интегралов
1. .
2. .
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Метод непосредственного интегрирования
Этот метод интегрирования опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Разделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель. Применяя свойства интегралов и таблицу интегралов, получим:
.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Возводим числитель в куб и делим почленно на знаменатель. Имеем:
Пример 3. Вычислить интеграл .
Освободившись от иррациональности в знаменателе, получим:
Пример 4. Вычислить интеграл .
Запишем единицу, стоящую в числителе, как тригонометрическую. Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям основан на формуле
(1)
которая называется формулой интегрирования по частям.
|
|
Применяя этот метод, мы должны вначале представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Пользуясь формулой (1), надо следить, чтобы подынтегральное выражение было не сложнее, чем подынтегральное выражение .
При вычислении можно пользоваться следующими практическими советами. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение либо тригонометрической функции на многочлен, либо показательной на многочлен, то за следует принимать этот многочлен.
Если в подынтегральное выражение входит множителем либо одна из обратных тригонометрических функций, либо функция , то за следует выбрать одну из указанных функций.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Положим,
Используя формулу (1), получим
Пример 2. Вычислить интеграл .
Пусть
Имеем:
Полученный интеграл ещё раз интегрируем по частям:
Окончательно получим:
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Интегрируем по частям:
,
.
Мы получили интеграл той же сложности, что и исходный. Проинтегрируем его ещё раз по частям:
,
.
Отсюда получим
.
Перенесём интеграл из правой части равенства в левую и найдём его как из уравнения:
|
|
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Выполним подстановку , тогда , откуда .
Заданный интеграл преобразуется теперь к табличному
.
Возвращаясь к первоначальной переменной , получим
Пример 2. Вычислите интеграл .
Сделаем подстановку , тогда .
Интеграл примет вид
.
При решении этой задачи можно рассуждать иначе. Введём множитель под знак дифференциала, тогда получим
.
Пример 3. Вычислить интеграл
Запишем интеграл в виде , тогда удобно сделать замену , .
Интеграл примет вид
.
Замечание 1.
Пусть , тогда
.
Будем использовать этот результат в дальнейших вычислениях
.
Например:
.
.
Замечание 2.
Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .
Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .
Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .
Пример 4. Вычислить интеграл .
Так как под интегралом есть радикал , то сделаем подстановку ; откуда .
|
|
Имеем:
.
.
Рассмотрим одно из определений определённого интеграла.
Пусть функция задана на отрезке и имеет на нём первообразную .
Определение. Разность называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают
. (1)
Здесь называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом.
Функция , стоящая под знаком интеграла, предполагается непрерывной на .
Формулу (1) можно записать в виде:
. (1¢)
Формула (1¢) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами.
Определённый интеграл есть число. Числовое значение определённого интеграла зависит от вида функции , стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 1. Вычислить .
.
При вычислении определённого интеграла удобно пользоваться следующим правилом:
Сначала находят неопределённый интеграл данной функции.
Затем берётся функциональная часть неопределённого интеграла, то есть , и в неё вместо подставляется сначала верхний предел , потом нижний и из первого результата подстановки вычитается второй.
Пример 2. Вычислить .
Находим неопределённый интеграл
|
|
.
Далее по формуле (1) имеем:
.
Основными методами вычисления определённого интеграла являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям, известные по изучению неопределённого интеграла.
А) Метод подстановки
Сущность метода состоит в замене переменной интегрирования другой переменной, связанной с ней какими-либо функциональными соотношениями.
При использовании этого метода для вычисления неопределённых интегралов по окончании операции надо было возвращаться снова к первоначальной переменной, что вызывало иногда довольно большие трудности. Здесь такое возвращение не обязательно и заменяется изменением пределов интегрирования по новой переменной.
Пример 3. Вычислить интеграл .
Введём новую переменную , положив (вспомни интегрирование иррациональных функций). Тогда .
Найдём пределы интегрирования для новой переменной :
Заменяя переменную в определённом интеграле, получим:
Пример 4. Вычислить интеграл .
Воспользуемся заменой переменной:
, тогда .
Если , то , если , то .
Выполняя замену, получаем
.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!