Функция нескольких переменных. Основные понятия
Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут , или , или . Множество D называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида , где , множеством значений функции. Значение функции в точке называется частным значением функции и обозначается или .
Частные производные первого порядка
Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел
вычисленный при постоянном .
Частной производной по называется конечный предел
,
вычисленный при постоянном .
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Полный дифференциал
Полным приращением функции в точке называется разность где и произвольные приращения аргументов.
Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде
, где .
Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , т.е. .
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. и .
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле
|
|
.
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле
.
При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства
.
или
. (7.1)
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка .
Обозначение частных производных второго порядка:
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьих и высших порядков, например:
и т.д.
Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например:
.
Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. .
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: ; вообще
Если x и y – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
Дифференцирование неявных функций
Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле
|
|
при условии (7.2)
Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , могут быть вычислены по формулам
при условии (7.3)
Экстремум функции
Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , т.е. [соответственно ] для всех точек , удовлетворяющих условию , где достаточно малое положительное число.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.
(необходимые условия экстремума).
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
|
|
Пусть стационарная точка функции . Обозначим
и составим дискриминант Тогда:
а) если то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при
б) если то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);
в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Решение типового задания
Пример 1.Дана функция Найти частные производные первого порядка и .
Решение.
Пример 2. Дана функция Найти dz.
Решение.
Следовательно,
Пример 3. Вычислить приближенно .
Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где .
Воспользуемся формулой (*), предварительно найдя и : Вычислим значения функции и частных производных в точке (27, 4):
Следовательно, .
Пример 4. Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где .
Воспользуемся формулой (*), предварительно найдя и : Вычислим значения функции и частных производных в точке (1, 1):
Следовательно,
Пример 5. Найти
Решение. Здесь
Найдем
Следовательно,
Пример 6. Найти и
Решение. Здесь =
Находим
Тогда
Пример 7. Найти экстремум функции
Решение. Находим частные производные первого порядка: Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
|
|
откуда
Находим значения частных производных второго порядка в точке M:
и составляем дискриминант Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке
Пример 8. Найти экстремум функции
Решение. Находим частные производные первого порядка:
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
Отсюда x=21, y=20; стационарная точка
Найдем значения вторых производных в точке M:
Тогда .
Так как A<0, то в точке функция имеет максимум:
Задачи № 241-270:
Найти частные производные первого порядка и от функции :
241. | 256. |
242. | 257. |
243. | 258. |
244. | 259. |
245. | 260. |
246. | 261. |
247. | 262. |
248. | 263. |
249. | 264. |
250. | 265. |
251. | 266. |
252. | 267. |
253. | 268. |
254. | 269. |
255. | 270. |
Задачи № 271-300:
Вычислить приближенное значение функции в точке А.
271. | 286. |
272. | 287. |
273. | 288. |
274. | 289. |
275. | 290. |
276. | 291. |
277. | 292. |
278. | 293. |
279. | 294. |
280. | 295. |
281. | 296. |
282. | 297. |
283. | 298. |
284. | 299. |
285. | 300. |
Задачи № 301-330:
Найти производную от неявной функции, заданной уравнением:
301. | 316. |
302. | 317. |
303. | 318. |
304. | 319. |
305. | 320. |
306. | 321. |
307. | 322. |
308. | 323. |
309. | 324. |
310. | 325. |
311. | 326. |
312. | 327. |
313. | 328. |
314. | 329. |
315. | 330. |
Задачи №331-360:
Найти экстремум функции двух переменных :
331. |
332. |
333. |
334. |
335. |
336. |
337. |
338. |
339. |
340. |
341. |
342. |
343. |
344. |
345. |
346. |
347. |
348. |
349. |
350. |
351. |
352. |
353. |
354. |
355. |
356. |
357. |
358. |
359. |
360. |
ТЕМА 10 ТЕОРИЯ Вероятностей
Теория вероятностей –математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.
10.1 Элементы комбинаторики
В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решениями таких задач, - комбинаторикой.
Факториалом натурального числа n называется число
. (10.1)
По определению, факториалом нуля является единица:
0!=1.
Рассмотрим некоторое множество S , состоящее из n различных элементов. Пусть . Назовём множество, состоящее из k элементов, упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие число от 1 до k , причём различным элементам множества соответствуют разные числа.
Размещениями из n элементов по kназываются упорядоченные подмножества множества S,состоящие из k различных элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по k равно
. (10.2)
Перестановками из n элементовназываются размещения из n элементов по n,т. е. упорядоченные подмножества множества S, состоящие из всех элементов данного множества и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок из n элементов равно
. (10.3)
Сочетаниями из n элементов по kназываются подмножества множества S , состоящие из k различных элементов и отличающиеся друг от друга только составом элементов.
Число сочетаний из n элементов по k равно
. (10.4)
Размещениями с повторениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества множества S , состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения.
Число размещений с повторениями из n элементов по k равно
(10.5)
Сочетаниями с повторениями из n элементов по kназываются подмножества множества S,состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга только составом элементов.
Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно
. (10.6)
Если во множестве S, состоящем из n элементов, есть только m различных элементов, то перестановками с повторениями из n элементовназываются упорядоченные подмножества множества S , в которые первый элемент множества S входит n1 раз, второй элемент — n2 раз и так до
m -го элемента, который входит nm раз (n1 +n2+…+nm = n).
Число перестановок с повторениями из n элементов, в которые первый элемент множества S входит n1 раз, второй элемент — n2 раз и так до m -го элемента, который входит nm раз(n1 +n2 +…+nm = n), равно
(10.7)
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 391; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!