Последовательности независимых испытаний. Формулы
Бернулли, Лапласа, Пуассона
Конечное число испытаний называются независимыми, если их исходы представляют собой события, независимые в совокупности. Иными словами, вероятность наступления некоторого события в каждом из испытаний не зависит от исходов других испытаний.
Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых нас интересуют только два исхода (будем называть их «успех» и «неудача»), вероятности которых постоянны в каждом испытании.
Например, при многократном подбрасывании монеты (за успех принимаем выпадение герба, за неудачу – выпадение решки) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p . При многократном подбрасывании игральной кости (за успех принимаем выпадение на верхней грани «1», за неудачу – выпадение любого другого числа («2» или «3», или «4», или «5», или «6»)) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p .
Если производится n независимых испытаний в одинаковых условиях, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие A, то вероятность Pn(m) того, что в этих n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли.
1 Обычно при решении задач формула Бернулли применяется, если число экспериментов невелико ( .
Формула Бернулли
, (10)
где q = 1 – p – вероятность непоявления события A в каждом из испытаний;
|
|
– число сочетаний из n элементов по m, которое вычисляется по формуле:
, где .
Примечание. Сочетаниями (или неупорядоченными выборками без возвращения) из п различных элементов по т называются множества, содержащие т элементов из числа п заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по т обозначают: ).
2 Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение Pn(m) и Pn(k1 £ m £ k2), чем больше n.
Локальная формула Лапласа.Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна
, (11)
где , .
(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)
|
|
Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j( x) = 0.
Интегральная формула Лапласа.Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k1 до k2 раз, приближенно равна
, (12)
где , ,
В приложении Б приведена таблица значений функции ЛапласаF(x).
Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0,5.
3 Пусть число экспериментов Бернулли велико ( ), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала ( ), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна
(13)
где .
Приведем таблицу, с помощью которой, можно определить формулу при решении задачи.
Таблица 1 – Условия применения формул при испытаниях Бернулли
Число испытаний, n | |||
Вероятность наступления события А, р(А) | 0 < p < 1 | 0 < p < 1 | |
Формула | Бернулли | Лапласа | Пуассона |
Наивероятнейшее число m0 наступлений события A в серии из n испытаний, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p, определяется из двойного неравенства (m0 – целое)
|
|
np – q £ m0 £ np + p.
Пример 10Предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по адресам (почтовый опрос). Вероятность того, что заполненные потребителями анкеты «возвратятся» на предприятие, составляет . Определить:
а) какова вероятность того, что из отправленных анкет «возвратятся» не более анкет;
б) найдите наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, и соответствующую этому значению вероятность.
Рассмотрим решение задачи для трех постановок:
Задача | n | P | k |
Задача 1 | 10 | 0,4 | 3 |
Задача 2 | 100 | 0,4 | 40 |
Задача 3 | 200 | 0,05 | 2 |
Определим случайный эксперимент Е: предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по адресам.
Задача 1
Решение.
Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 10 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {отправленная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что отправленная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,4 = 0,6.
|
|
а) Определим событие B = {из 10 отправленных анкет менее 4 «возвратятся» на предприятие}.
Так как число испытаний невелико для вычисления вероятности события B = {из 10 отправленных анкет менее 4 «возвратятся» на предприятие} можно воспользоваться точной формулой Бернулли и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:
Р(В) = + + + ;
;
;
;
.
Р(В) = + + + = 0,006047+ 0,040311+ 0,120932+ 0,214991 = 0,38228.
б) Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле
np – q £ m0 £ np + p.
£ m0 £
3,4 £ m0 £ 4,4.
Наивероятнейшее число m0 = 4.
C = {из 10 отправленных анкет ровно 4 «возвратятся» на предприятие}.
Для определения вероятности события С воспользуемся формулой Бернулли
.
Ответ: а) вероятность того, что из 10 отправленных анкет менее 4 «возвратятся» на предприятие, равна 0,382; б) наиболее вероятное число отправленных анкет, которые «возвратятся» на предприятие, составит 4, соответствующая этому числу вероятность 0,251.
Задача 2
Решение.
а) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {отправленная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,4 = 0,6.
а) Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятностей события B = {из 100 отправленных анкет менее 40 «возвратятся» на предприятие} можно воспользоваться приближённой интегральной формулой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6; k1 = 0; k2 = 40:
;
По таблицам значений функции находим F (–8,165) = = – 0,5, F (0) = 0,0.
Таким образом,
.
б) Определим наиболее вероятное число анкет, которые «возвратятся» на предприятие по формуле
np – q £ m0 £ np + p.
£ m0 £
39,4 £ m0 £ 40,4.
Наивероятнейшее число m0 = 40.
Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятности события C = {из 100 разосланных анкет ровно 40 «возвратятся» на предприятие} можно воспользоваться приближённой локальной формулой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,4; q = 0,6; m = 40:
По таблицам значений функции находим j (0) = 0,3989.
Ответ: а) вероятность того, что из 100 отправленных анкет не более 40 «возвратятся» на предприятие, равна 0,5; б) наиболее вероятное число отправленных анкет, которые «возвратятся» на предприятие, составит 40, соответствующая этому числу вероятность 0,0814.
Задача 3
Решение.
Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 200 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {отправленная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,05 = 0,95.
В данном случае для вычисления вероятностей воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так какчисло испытаний n = 200достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0,05очень мала (p < 0,1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:
Таблица значений функции приведена в приложении В.
a = np = .
а) Определим событие В = {не более двух анкет «возвратятся» на предприятие, то есть или 0, или 1, или 2}.
Вероятность события В
= 0,0028.
б)
Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, по формуле
np – q £ m0 £ np + p,
£ m0 £
9,05 £ m0 £ 10,05.
Наивероятнейшее число m0 = 10.
Определим событие С = {10 анкет «возвратятся» на предприятие}.
Вероятность события С
.
Ответ: а) вероятность того, что из 200 отправленных анкет не более 2 «возвратятся» на предприятие, равна 0,002769; б) наиболее вероятное число отправленных анкет, которые «возвратятся» на предприятие, составит 10, соответствующая этому числу вероятность 0,12511.
Вопросы для самоконтроля
1 Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры.
2 Какие испытания называются испытаниями Бернулли? Приведите примеры.
3 Что определяется по формуле Бернулли?
4 При каких условиях применяется формула Пуассона?
5 При каких условиях применяются формулы Myaвpa-Лапласа?
6 Что определяется по локальной формуле Муавра-Лапласа?
7 Что определяется по интегральной формуле Муавра-Лапласа?
8 Как определить наивероятнейшее число наступлений события A в серии из n испытаний?
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 316; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!