Первая теорема Больцано-Коши.
Билет №1.
Доказать теорему Ролля.
Пусть дана функция .
1. Определена и непрерывна на отрезке .
2. Дифференцируема на интервале .
3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .
Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .
Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.
, ,
, .
Случаи:
1. , - любое из интервала
2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала .
Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .
Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.
Пусть при имеет конечный предел А1, при имеет конечный предел А2, и существует : для , тогда .
Доказательство:
,
,
Пусть
Это неравенство выполняется для любого , отсюда
Билет №2.
Доказать теорему Лагранжа.
Пусть функция .
4. Определена и непрерывна на отрезке .
5. Дифференцируема на интервале .
Тогда существует из интервала .
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.
1. Она непрерывна на
2. дифференцируема на .
Все условия теоремы Ролля выполняются существует из
Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
, где
|
|
1) Пеано
2) где - Лагранж
3) - Коши
, , ,
, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:
Билет №3.
Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
, где
1) Пеано
2) где - Лагранж
3) - Коши
, , ;
Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.
1) , где s>0, x>0; .
2) ; ; = ; .
3) (по транзитивности)
Билет №4.
Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.
Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:
1. на - непрерывна.
2. на - дифференцируема.
По т. Лагранжа , где , т.к. , то
на : где ,
Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).
Доказательство: I Необходимость:
|
|
Дано:
Доказать: , где - б.м.ф. при .
Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .
II Достаточность:
Дано: , где - б.м.ф. при .
Доказать:
Билет №5.
Доказать второе достаточное условие экстремума.
Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.
Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.
, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.
Вывести уравнение наклонной асимптоты.
Прямая - называется правосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Прямая - называется левосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Если , , то y=kx+b – двусторонняя наклонная асимптота.
Теорема. Для того, чтобы y=kx+b была правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой y= при (при ) необходимо существование двух пределов: ; И достаточно существование .
|
|
Необходимость Дано: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.
Доказать: ; .
Док-во: , где - б.м.ф. ; . . Т.к. И .
Достаточность Дано:
Доказать: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.
Док-во. Т.к. существует предел , то . - правосторонняя наклонная асимптота (из определения).
Билет №6.
Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.
Для того, чтобы , определённая и дифференцируемая на интервале (а;b) была возраст. на этом интервале, необходимо, чтобы , .
Дано:f(x)-возраст.
Док-ть: .
Доказательство: из опред. возраст. ф-ции ;
;
если , то . Т.к. f(x) – диф-ма, то .
По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе : .
(2 дост.- по т. Лагранжа).
Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
Число а называется пределом числовой последовательности при если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие , записывают .
|
|
Числовая последовательность монотонно не убывает (не возрастает) при , если для выполнено .
Признак: если числовая последовательность при , монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B)
Если последовательность , при имеет конечный предел, то он единственный .
Доказательство: Пусть имеет 2 предела a и b при . Пусть для определённости a>b .
;
.
N=max(N1;N2) эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются.
Билет №7.
Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.
Доказательство: следует из теоремы Ферма.
Дано: точка – точка локального экстремума.
Доказать: .
Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0.
Т. Ферма:
Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.
Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .
Вывести 1 замечательный предел:
Пусть , .
Ясно, что , но
, т.е.
, т.к. .
Билет №8-1.
Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .
Доказательство: Рассмотрим { . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >
Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. Б.м.ф. при , причем Если
Замечание 2: если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и , то и т. д.
Билет №8-2.
Векторная функция скалярного аргумента: и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
Рассмотрим [a,b]. Пусть любому поставлен в соответствии некоторый вектор , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента.
Пусть задана ортонормированная система координат с базисом , тогда
Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции .
Геометрический смысл векторной функции:
Функции соответствует некоторая кривая
Такое представление кривой называют годографом. называется пределом функции скалярного аргумента при если:
.
Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение , тогда
.
Производной в точке называется предел разностного отношения при
, .
, .
=
=
Пусть . Предельное положение секущей при называют касательной к кривой Г в точке . . Тогда при касательная в точке параллельна вектору . Уравнение касательной: .
- каноническое уравнение касательной.
Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента , - является непрерывно-дифференцируемой функцией на , которой соответствует некоторая кривая Г: . Тогда длина дуги Г удовлетворяет: (при этом Г имеет конечную длину).
Доказательство: , где , по условию теоремы, функция непрерывно-дифференцируема, значит на отрезке - непрерывная функция. , (по 1 теореме Вейерштрасса). при .
Билет №9-1.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.
Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.
эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.
Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .
, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) непрерывность на [a;x];
2) дифференцируема на (a;x);
3)
; ; ;
Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .
Доказать:
; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=
Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: .
Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,
1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.
2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. К. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;
Билет №9-2.
Свойства б.м. функций.
1. Сумма конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .
- б.м.ф.
2. Произведение конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .
- б.м.ф.
3. Пусть - б.м.ф. при , а - ограничена в , тогда - б.м.ф. при .
. Пусть , тогда , для , тогда - б.м.ф. при .
Билет №10.
Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.
Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :
1. - непрерывна.
2. на - дифференцируема.
По т. Лагранжа , где , т.к. , то
на : где ,
Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.
Инвариантность формы первого дифференциала.
; , где Х – независимая переменная.
Билет №11.
Доказать второе достаточное условие экстремума.
Пусть ф-ция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ная производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c –локальный минимум, если , то x=c –локальный максимум.
Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. , где -б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.
Доказать теорему о пределе произведения функций.
Пусть и при имеют конечные пределы равные A и B соответственно, тогда
Дано:
Доказательство: , ,
Билет №12.
Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .
Доказательство:
Дано:
Доказать: - выпуклость вниз на .
Пусть .
Уравнение касательной:
, где , если , , если ,
, т.к.
график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .
Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.
Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.
Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .
Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.
Билет №13.
Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.
Пусть функция определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы (с, ), была точкой перегиба графика функции , необходимо чтобы .
Доказательство:
Дано: (с, ) – точка перегиба.
Доказать: .
- это значит, согласно свойству непрерывности, что функция обладает знакопостоянством.
, т.е. в этой окрестности график функции имеет одинаковые направления выпуклости слева и справа от точки С, что противоречит определению точки перегиба в точке С .
Доказать теоремы об эквивалентных бесконечно малых.
Теорема. Для того, чтобы б.м.ф. и при были эквивалентными, при необходимо и достаточно, чтобы , .
Доказательство. Необходимость. Дано. Доказать, что ( .
Достаточность. Дано. Доказательство. .
Рассмотрим сумму конечного числа б.м.ф. , где - б.м.ф. при .
Пусть , k=2,3,….n тогда - главная часть б.м.ф.
Билет №14.
Доказать теорему Коши.
Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале (a,b); 3) тогда .
Доказательство: Вводим вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируема на (a,b); 3) .
(по теор. Ролля). . .
Вывести формулу для производной сложной функции.
Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .
Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .
Билет №15.
Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.
Для того, чтобы функция , определённая и дифференцируемая на , возрастала на , достаточно, чтобы на .
Доказательство:
Дано:
Доказать: - возрастает на
1) - определена
2) - дифференцируемая.
Согласно т. Лагранжа , т.к. , - возрастает на .
Длина дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги плоской кривой.
Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.
; - Средняя кривизна кривой Г. Кривизной кривой Г в точке называют предел (если он существует) средней коивизны при . ; ; Если , то полагают
Билет №16-1.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.
Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.
эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.
Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .
, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
- непрерывность на [a;x];
- дифференцируема на (a;x);
; ; ;
Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .
Доказать:
; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=
Такую запись остаточного члена называют ост. чл. в форме Пеано: .
Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,
1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.
2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. к. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;
Билет №16-2.
Доказать непрерывность функций и
1)
Зададим приращение аргумента функции в точке X:
Здесь использовано неравенство . Итак, . Тогда , т.е. функция непрерывна в точке X, а т.к. точка X принадлежит R , т.е. произвольна, то можна сказать, что функция непрерывна на всей числовой оси.
2) ыв
Зададим приращение аргумента функции в точке X:
, - непрерывная функция.
Билет №17.
Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.
Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:
1. на - непрерывна.
2. на - дифференцируема.
По т. Лагранжа , где , т.к. , то
на : где ,
Непрерывность сложной функции.
Пусть - непрерывна в точке x=a, а функция - непрерывна в точке b=f(a), тогда сложная функция z=g(f(x)) – непрерывна в точке x=a.
Доказательство: Т.к g(y) – непрерывна в точке y=b, то , т.к. y=f(x) – непрерывна в точке x=a, то
.
Замечание:
Билет №18.
Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.
Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке.
Дано: - дифференцируема в точке.
Доказать: - непрерывна в точке.
, где - б.м.ф. при .
- непрерывна в заданной точке.
Доказать теорему о пределе промежуточной функции.
Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда
Доказательство:
,
,
Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,
Билет №19.
Доказать теорему Лагранжа.
Пусть функция .
6. Определена и непрерывна на отрезке .
7. Дифференцируема на интервале .
Тогда существует из интервала .
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.
3. Она непрерывна на
4. дифференцируема на .
Все условия теоремы Ролля выполняются существует из
Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.
Инвариантность формы первого дифференциала.
; , где Х - независимая переменная.
Билет №20.
Доказать теоремы Ролля и Ферма.
Пусть дана функция .
8. Определена и непрерывна на отрезке .
9. Дифференцируема на интервале .
10. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .
Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.
, ,
, .
Случаи:
3. , - любое из интервала
4. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .
Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .
Т. Ферма:
Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.
Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть . ; ; Т.к. .
Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).
Доказательство: I Необходимость:
Дано:
Доказать: , где - б.м.ф. при .
Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .
II Достаточность:
Дано: , где - б.м.ф. при .
Доказать:
Билет №21.
Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
, где
1) Пеано
2) где - Лагранж
3) - Коши
, , ,
(Пеано) , т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:
, (Лагранж)
Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b.
Первая теорема Вейерштрасса.
Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. .
Вторая теорема Вейерштрасса.
Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения.
Первая теорема Больцано-Коши.
Функция , тогда
Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок . . При , . Получим систему вложенных отрезков . Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то ; - притиворечие, что и треб. доказ.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 384; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!