АКСИОМЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ПРИМЕРЫ ЛИН. ПРОСТРАНСТВ
Nbsp;
ПОЛИНОМ
Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида ,
где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Функция вида
при и относительно переменной называется полиномом1) илимногочленом от указанной переменной над множеством . Число называется коэффициентом2) полинома (при -й степени переменной), выражение — членом (одночленом) полинома, — свободным членом, — мономом.
Значением полинома при (или в точке) называется число
Два полинома с коэффициентами из называются (тождественно) равными: если совпадают множества их членов; или, что то же, равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Это определение отличается от привычного определения равенства двух функций: две функции и называются равными на множестве если совпадают их значения при любом . На самом деле, для случая полиномов эти два определения — алгебраическое ифункциональное — эквивалентны. Корни
Если значение полинома при равно нулю, то число ывается корнем полинома . Иными словами, корень полинома — это решение уравнения , принадлежащее множеству .
|
|
Историческая справка. Корень как название неизвестной величины, которую требуется определить («извлечь») из уравнения, является переводом арабского слова «джизр» — буквально означающего «корень растения». В свою очередь, арабский вариант, по-видимому, является переводом санскритского слова «мула», применявшегося индийскими учеными для обозначения квадратного корня.
Уравнение , в левой части которого стоит полином одной или нескольких переменных, называется алгебраическим.
Задача. Выяснить количество корней полинома , принадлежащих множеству , и вычислить их.
Решить алгебраическое уравнение над множеством означает найти все корни , принадлежащие .
На основании теоремы из предыдущего пункта имеет место следующая
Теорема [Безу]. Пусть и — корень полинома . Тогда полином допускает представление в виде произведения: где полином определяется единственным образом.Итак, теорема Безу утверждает, что в случае существования корня полинома, возможно разложение этого полинома в произведение двух полиномов — одного первой степени и одного полинома степени, на единицу меньшей исходного. Тем самым, задача о нахождении корней полинома сведется к аналогичной задаче для полинома ; вторая задача может оказаться более простой за счет понижения степени.Фактическое нахождение полинома возможно произвести с помощью схемы Хорнера.
|
|
Пример. Решить уравнение над множеством , если известно, что число — одно из его решений.
Решение. Строим схему Хорнера:
Видим, что число действительно является корнем полинома, и, следовательно, последний раскладывается в произведение двух полиномов: линейного и квадратичного. Коэффициенты квадратичного полинома выбираются из той же схемы:
Квадратное уравнение над можно решить (см. ☞ ЗДЕСЬ ), его корни: и .
Ответ. .
Если полином раскладывается в произведение , то полином называется линейным множителем для над множеством .
АКСИОМЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ПРИМЕРЫ ЛИН. ПРОСТРАНСТВ
Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции(АКСИОМЫ)
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
1. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
|
|
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения); , для любых (ассоциативность сложения);
1. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
2. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
3. (ассоциативность умножения на скаляр);
4. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
5. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
6. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа. Приведем несколько примеров.1. В геометрии объектами такого рода являются векторы в трехмерном пространстве, т.е. направленные отрезки. При этом, если два направленных отрезка можно совместить параллельным переносом, то считается, что они определяют один и тот же вектор. Поэтому удобно все эти отрезки откладывать от одной какой-либо точки, которую мы будем называть началом координат. Операция сложения векторов, как известно, определяется следующим образом: суммой векторов и мы считаем диагональ параллелограмма со сторонами и . Известным образом вводится также умножение на числа.2. В алгебре мы встречаемся с системами чисел (например, строки матрицы, совокупность коэффициентов линейной формы и т.д.). Для таких систем операции сложения и умножения на числа обычно определяются так: суммой систем и называется система . Произведением системы на число мы считаем систему .3. В анализе определяются операции сложения функций и умножения их на числа. В дальнейшем мы для определенности будем рассматривать совокупность всех непрерывных функций, заданных на сегменте .В приведенных примерах одни и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, мы введем понятие линейного, или аффинного, пространства.
|
|
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!