Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию на экстремумы.
(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).
(21.1)
или ; ;
Итак: , т.к. , , , .
Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае - точка устойчивого равновесия.
Рассмотрим точку
, - точка неустойчивого равновесия.
Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:
Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.
[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- кинетическая энергия.
- потенциальная энергия.
Введём :
,
Функция Лагранжа:
Уравнение движения :
Получим: - простое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
(22.1)
Для решения необходимы начальные условия:
1.
2.
Пусть (временная зависимость через экспоненту).
В общем случае , тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем два корня, тогда общее решение можно записать в виде:
- должно быть вещественной величиной, следовательно .
|
|
Вернемся к уравнению (22.1). Имеем решение
, .
(22.2)
Уравнение (22.2) определяет частоты, возможные для данной системы - дисперсионное уравнение. Таким образом, получаем
- амплитуда.
- фаза.
, - константы, определяемые из начальных условий.
Примеры колебаний:
У. 4. Задачи 8-10
8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
Ответ:
9.Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение δl пружины. при x<<l имеем:
,
так что U=Fx2/2l. Поскольку кинетическая энергия есть то
10. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
|
|
Решение. При φ<<1 находим:
Отсюда
§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3.
, где - -мерный вектор.
В точке - экстремум(минимум):
- условие минимума, оно понимается в смысле квадратичных форм, т.е. если умножить на вектор слева и на вектор справа, то образуется положительная скалярная величина:
, для
, где
Тогда функция Лагранжа имеет вид:
она описывает малые свободные гармонические колебания.
Уравнение движения для данной системы:
Аналогично можно получить:
Подставим полученные формулы в уравнение движения, тогда получим:
- система линейных однородных дифференциальных уравнений.
Эта система имеет нетривиальное решение, если:
=> характеристическое уравнение
Это матрицы с действительными коэффициентами.
имеет решений ,
, где - номер корня.
умножим это выражение на и просуммируем:
,
Получаем:
-матричное уравнение
пусть :
,
т.к. , тогда:
Из определения матриц и следует, что
Можно показать, что - вещественные числа, тогда
т.е. матрицы симметричные, значит:
(23.1)
|
|
Запишем два матричных уравнения:
Вычтем из первого уравнения второе.
Воспользуемся свойством (23.1) и сложим два этих уравнения:
т.к. корни различны, то при получаем .
Если , то , но она неопределённая. Эта неопределённость исключается нормировкой:
Эта нормировка позволяет найти неопределённый параметр для всех корней.
Таким образом:
Рассмотрим матрицу :
тогда:
, где
-диагональная матрица.
Тогда - преобразование с помощью которого переводится в единичную, а диагонализируется.
, где
Тогда:
Переменные - нормальные координаты, или главные колебания. Это простейшая форма колебаний.
- комплексная константа.
и находятся из начальных условий:
, и , т.е. - единичная матрица.
для того чтобы получить единицу перед надо левую и правую часть умножить на :
Для компоненты :
Начальные условия:
Схема решения задач:
1. Составить дисперсионное уравнение.
2. решаем, находим корни(собственные частоты)
3. находим решения для нормальных координат
4. из решения уравнений находим коэффициент :
характеристическое уравнение
дисперсионное уравнение
находим матрицу, искомый коэффициент.
|
|
5. зная и находим и
6. через 3. находим
7. находим
Примеры:
1. Рассмотрим колебательный LC-контур
,
- функция Лагранжа для данной системы.
2. Рассмотрим контур
- энергия, связанная с наличием индуктивности в системе,
Энергия, связанная с конденсатором ,
- емкости
- электростатическая индукция
Задачу эту необходимо упрощать.
3. Рассмотрим задачу:
Свободные колебания двухатомной молекулы.
- коэффициент взаимодействия.
здесь - удлинение по сравнению с равновесным состоянием пружины.
, - координаты точек в отсутствии деформации пружины.
, - координаты точек в деформированном состоянии
Можем найти потенциальную энергию.
Вводим переменные и
Найдём и :
и
1. Составим дисперсионное уравнение:
Решая его получим два корня:
и
2. Напишем дифференциальные уравнения для нормальных колебаний:
- здесь колебаний нет, т.к.
, где
3. Найдём матрицу .
Используем уравнения:
Пусть , тогда:
значит .
Аналогично рассуждая для получим:
и из условия нормировки:
, где
тогда:
,
, , но - диагональная, тогда:
Здесь - координата центра масс
Рассуждая аналогично для , получим:
, где
Пусть , , , тогда:
и
, тогда
Подставляя сюда выражения для и получим:
Итак, решение задачи:
У. 5. Задача 11
1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
Решение. Для малых колебаний найденная в задаче 1 параграфа 6 функция Лагранжа принимает вид :
.
Уравнения движения:
После подстановки (23,6) :
Корни характеристического уравнения:
Ответ: .
При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.
§21. Оператор .
Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:
Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).
Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:
Действия оператора набла:
1. Оператор набла действует на скалярную функцию F:
или
2. Оператор набла скалярно действует на векторную функцию :
3. Оператор набла векторно умножается на векторную функцию :
Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:
- объем параллелепипеда.
- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.
У. 6. Задачи 12, 13
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение.
13. Вычислить где p – постоянный вектор.
Решение.
[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему единиц.
и являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.
[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
Удобно ввести:
-векторный потенциал
-скалярный потенциал
однозначно определяют электромагнитное поле
[§24.] Градиентная инвариантность.
Существует преобразование, которое не меняет полевых характеристик . Таким преобразованием является градиентное:
Здесь – произвольная функция координат и времени
-инвариантность полевых характеристик
относительно градиентных преобразований.
Аналогично для :
На потенциалы могут быть наложены произвольные, удобные для исследования ограничения – калибровки потенциалов, т.к. - произвольная.
§25*. -функция.
Пусть имеется функция Хевисайда:
Ясно, что кроме , производная везде равна нулю. Рассчитаем интеграл:
, ,
Рассмотрим этот же случай, но картинка смещена на :
Интегральное одномерное соотношение:
Существует множество способов моделирования подобных функций.
Если , то (3) это :
Рассмотрим простейший случай.
- площадь под графиком функции:
Делим пополам.
И так далее до бесконечности. Это одна из простейших моделей -функции.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 544; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!