ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Лекция № 10.
Плоские электромагнитные волны
Учебные вопросы лекции:
Волновые уравнения Гельмгольца. Общее уравнение плоской электромагнитной волны.
Поляризация плоских электромагнитных волн.
Плоская электромагнитная волна в среде без потерь.
Плоская электромагнитная волна в реальной среде.
Введение
В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с наиболее простыми моделями электромагнитных волн, а именно: с плоскими электромагнитными волнами. Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется в виде волны с конечной скоростью, которая зависит от свойств среды. Это хорошо известное теперь свойство электромагнитного поля было предсказано Дж. К. Максвеллом задолго до того времени, когда экспериментально это было доказано Г. Герцем.
В целом, волна от источника в безграничном пространстве имеет сферический фронт и соответственно представляет собой сферическую волну (в качестве аналогии здесь можно предложить волны, расходящиеся от камня, брошенного в воду). Плоские волны, которые изучаются в данной лекции, являются идеализацией электромагнитного поля на большом расстоянии от источника. Тем не менее, во многих практических задачах реальные волны с успехом могут быть заменены плоскими электромагнитными волнами.
ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
|
|
В первом вопросе лекции дается общая характеристика плоской электромагнитной волны, приводится математическое описание волновых процессов с помощью волновых уравнений Гельмгольца; рассматривается решение этих уравнений применительно к плоской электромагнитной волны.
Важнейшие свойства электромагнитных волн далее мы будем рассматривать на простейшем примере плоской однородной волны. Дадим ряд определений.
Волной в общем случае называют всякое изменяющееся во времени пространственное чередование максимумов и минимумом любой физической величины.
Для электромагнитной волны такой физической величиной являются напряженности электрического Е и магнитного Н полей.
Расположим в безграничном трехмерном пространстве декартовую систему координат (х, y, z) с начальной точкой О. Расположим в этой точке О некий источник электромагнитных волн. Пусть некоторая исследуемая область V лежит так далеко от источника, что любые две точки, лежащие в области V на плоскости перпендикулярной оси Оz, можно считать находящимися на одинаковых расстояниях от точки О (см. рис. 1).
Рис. 1 – К пояснению понятия плоская электромагнитная волна
|
|
В пределах этого допущения можно считать что отрезки ОМ1 и ОМ2 равны и параллельны.
Это означает, что точки М1 и М2 и следовательно, во всей области V процесс не зависит от координат х и y, т.е.:
.
Плоской электромагнитной волной называют такую электромагнитную волну, у которой во всех точках плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, вектора поля и имеют одинаковые значения (т.е. = const, = const).
Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. По форме этой поверхности определяют вид волны, например, сферическую или цилиндрическую волну. У плоской волны, как несложно увидеть из рис. 1, поверхность равных фаз представляет собой плоскость (z = const).
Волна называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.
Изучение плоских волн имеет важное практическое значение, поскольку реально существующие поля излучения антенн могут быть с достаточной точностью заменимы этими волнами. (см. рис. 2).
Рис. 2 – Представление сферических волн в виде плоских
Действительно, если рассматривать излученные антенной волны в не-которой области V, размеры которой a, b и с весьма малы по сравнению с расстоянием R до антенны, то можно в пределах указанной области V заменить участки сферических (или более сложной формы) волновых поверхностей на параллельные плоскости, и рассматривать, таким образом, плоские электромагнитные волны.
|
|
Рассмотрим однородную среду с параметрами eа, mа, s, в которой отсутствуют сторонние источники ( ст = 0, rст = 0) и свободные заряды (r = 0). Запишем первое уравнение Максвелла в комплексной форме для такой среды:
, (1)
где: - комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Изображая число на комплексной плоскости (см. рис. 3) можно характеризовать соотношение между вещественной и мнимой частями при помощи угла d, носящего название угла потерь, который определяется из соотношения:
. (2)
Рис. 3 – Изображение на комплексной плоскости
Введение комплексной диэлектрической проницаемости и угла потерь позволяет весьма просто учитывать как диэлектрические, так и проводящие свойства конкретного вещества. Чем больше угол d, тем среда становится более проводящей, следовательно, увеличивается значение тока проводимости Iпр, протекающего в этой среде, следовательно, тем относительно большая часть электромагнитной энергии, распространяющаяся в этой среде, рассеивается в виде тепла.
|
|
Введем комплексную диэлектрическую проницаемость, полагая при этом, что магнитная проницаемость mа – вещественная величина (это справедливо для подавляющего большинства диэлектрических сред). Запишем теперь 1-ое и 2-ое уравнения Максвелла:
Преобразуем 1-ое уравнение Максвелла следующим образом. Возьмем операцию rot от обеих частей уравнения:
.
Учитывая известное из высшей математики соотношение , где - произвольный вектор, левую часть уравнения преобразуем следующим образом:
.
Здесь учтено, что согласно 4-му уравнению Максвелла
Таким образом, окончательно получаем уравнение для комплексного вектора напряженности магнитного поля :
или . (3)
Введем обозначение , где параметр носит название постоянной распространения или волнового числа, в общем случае это комплексная величина.
Проделав подобные же преобразования со 2-м уравнением Максвелла, получим следующее уравнение для комплексного вектора напряженности электрического поля:
. (4)
Уравнения (3) и (4) носят название волновых уравнений Гельмгольца.
Из математической физики известно, что любые стационарные волновые процессы (будь то колебания пружины или колебания струны) описываются уравнениями Гельмгольца. Таким образом, из полученных уравнений (3) и (4) следует фундаментальный вывод из теории Максвелла:
Переменность во времени (поскольку мы рассматриваем уравнения Максвелла в комплексной форме) электрических и магнитных полей неизбежно приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.
На основании уравнений Гельмгольца несложно получить общее уравнение для плоской электромагнитной волны. Поскольку для плоской электромагнитной волны , то из (4), раскрывая операцию Ñ2 , получаем:
(5)
Здесь и далее, для простоты записи, знак "®" вектор над составляющими поля, обозначающий векторную величину, опущен. Из 3-го уравнения Максвелла имеем: (поскольку мы условились, что в рассматриваемой среде свободных зарядов нет). Или раскрывая операцию div:
, , . (6)
Подставляя полученные выражения в (5) получаем, что составляющая , следовательно, получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
, .
Общее решение этих односторонних дифференциальных уравнений в математике хорошо известно, и имеет вид:
, , (7)
где: произвольные комплексные амплитуды, включающие множитель ejwt.
Составляющие электромагнитного поля проще всего определить, используя 2-ое уравнение Максвелла:
, отсюда .
Раскрывая операцию rot и учитывая, что , получим:
(8)
Упростим полученные выражения:
.
Аналогично
,
где: , носит название характеристического (волнового) сопротивления среды. В общем случае это комплексное число.
Уравнения составляющей электромагнитной волны (см. 7 и 8) распадаются на две независимых друг от друга системы уравнений:
, . (9)
Полученные выражения являются общим уравнением плоской электромагнитной волны. Проведем краткий анализ полученных уравнений:
1) Плоскую электромагнитную волну можно рассматривать как наложение двух не связанных друг с другом волн: волна, у которой вектор параллельный оси х, а вектор параллельный оси y, и волна, у которой вектор параллельный оси y, а вектор параллельный оси х.
2) Каждая из составляющих электромагнитного поля является суммой двух слагаемых: слагаемое, в которое входит множитель е -jkz, представляет собой волну, распространяющуюся в сторону положительных значений осиz ; и слагаемое с множителем е jkz, которая представляет собой волну, распространяющуюся в обратную сторону (в сторону отрицательных значений оси z).
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В этом вопросе рассматривается явление поляризации электромагнитных волн, описываются различные виды поляризации и характер поведения волн.
В большинстве практических задач источники электромагнитных волн часто локализованы в одной области пространства (например, излучающая антенна). В этом случае в общем решении для плоской электромагнитной волны (9) должны быть оставлены лишь волны, бегущие от источников и распространяющиеся в направлении положительных значений координатыz:
, ,
где: произвольные комплексные амплитуды, включающие множитель ejwt.
Для простоты будем полагать, что среда, в которой распространяется волна, является однородной (eа, mа – const), а ее удельная проводимость s » 0, тогда: .
Определим значения напряженности электрических и магнитных полей плоской электромагнитной волны:
где: – единичные орты, jа, jс – произвольные начальные фазы соответствующих составляющих электромагнитной волны. Перейдем от комплексных значений к мгновенным:
(10)
Волну типа (10) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов и , распространяющихся в одном направлении, т.е. вдоль оси z. Характер изменения вектора волны (10) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами jа и jс и от амплитуд А и С. Плоскость, в которой происходит изменение вектора напряженности электрического поля в фиксированной точке пространства принято называть плоскостью поляризации.
Зафиксируем координату z (для определенности примем z = 0), тогда из (10) имеем:
где: - разность фаз между составляющими напряженности электрического поля.
Рассмотрим частные случаи:
1) или 1800, тогда:
(10, а)
где:
Из полученного выражения видно, что амплитуда Еm изменяется от 0 до с течением времени с частотой w, а конец вектора перемещается вдоль отрезка прямой линии ОМ (см. рис. 4). Волны, обладающие таким свойством, принято называть линейно поляризованными.
Рис. 4 – Линейно поляризованная волна
В зависимости от положения плоскости поляризации среди линейно поляризованных волн различают:
- волны с нормальной (вертикальной) поляризацией, если А ¹ 0, С = 0;
- волны с параллельной (горизонтальной) поляризацией, если А=0, С ¹ 0.
2) , тогда:
(10, б)
где: , а выражение (cos wt + sin wt) представляет собой уравнение окружности.
Из полученного уравнения видно, что вектор остается неизменным по амплитуде и вращается с угловой частотой w, описывая окружность (см. рис. 5).
Рис. 5 – Волна с круговой поляризацией
Волны такого типа называют волнами с круговой поляризацией. В зависимости от направления вращения вектора различают:
- волны с левой круговой поляризацией (вращение против часовой стрелки), если ;
- волны с правой круговой поляризацией (вращение по часовой стрелке), если .
3) Все остальные углы Dj , помимо 00, 900, 1800 и 2700, тогда:
(10, в)
Полученное в скобках выражение является уравнением эллипса. Таким образом, конец вектора с течением времени перемещается вдоль эллипса с угловой частотой w (см. рис. 6).
Волны такого типа называют эллиптически поляризованными волнами. Если Dj лежит в пределах 0 ¸ 1800, то такая волна называется волной с левой эллиптической поляризацией. Если Dj лежит в пределах 1800 ¸ 3600, то такая волна называется волной с правой поляризацией.
Рис. 6 – Волна с эллиптической поляризацией
Общее замечание: Очевидно, что линейно поляризованная волна и волна с круговой поляризацией являются частными случаями эллиптически поляризованной волны.
Все то, что мы рассмотрели до сих пор в этом разделе, предполагалось при фиксированном значении координаты z. Введем координату z в вышеприведенные уравнения (10 а, б, в) для волн с различной поляризацией и изобразим поведение этих волн в фиксированные моменты времени t, см. рис. 7.
Рис.7 – Волна с вертикальной поляризацией (а) и с эллиптической поляризацией (б)
Несложно заметить, что проекция этих волн на плоскость xОy представляет собой:
- отрезок прямой;
- окружность;
Отсюда становится очевидным характер поляризации этих волн.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 2665; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!