Задание 6 Найти частное решение дифференциального уравнения.
1в y'' - 5y' + 6y = (12x - 7)e-x, y(0) = y'(0) = 0
2в y'' + y' = e-x, y(0) = 1, y'(0) = 0
3в . y'' - 2y' + 2y = 4excosx, y(p) = p ep, y'(p) = ep
4в y'' + y' = 2cosx , y(0) = 1, y'(0) = 0
5в y'' - y = 4ex , y(0) = 0, y'(0) = 1
6в y'' - 6y' + 9y = 10sinx, y(0) = y'(0) = 0
7в y'' + y = 4xcosx, y(0) = 0, y'(0) = 1
8в y'' - y' = -5e-x(sinx + cosx), y(0) = -4, y'(0) = 5
9в y'' + 4y' +5y = 8cosx, y(0) = y'(0) = 0
10в. y'' - 4y' + 5y = 2x2ex, y(0) = 2, y'(0) = 3
Задание 7 а) Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд;
б) Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующий ряд;
С) Найти радиус сходимости степенного ряда и область сходимости степенного ряда.
1в а) | 1в б) | 1в с) |
2в а) | 2в б) | 2в с) |
3в а) | 3в б) | 3в с) |
4в а) | 4в б) | 4в с) |
5в а) | 5в б) | 5в с) |
6в а) | 6в б) | 6в с) |
7в а) | 7в б) | 7в с) |
8в а) | 8в б) | 8в с) |
9в а) | 9в б) | 9в с) |
10в а) | 10в б) | 10в с) |
Задание 8 Вычислить определенный интеграл с точностью до e = 10-3 , разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем почленно проинтегрировав.
Нулевой вариант
Пример1 Вычислить неопределенный интеграл:
Т.к. , то f(x) = t
= =
Пример 2 Вычислить неопределенный интеграл:
Решение: Воспользуемся методом подстановки:
Пример 3 Вычислить неопределенный интеграл
|
|
Пусть x = u(x) | ex dx = dv |
Тогда х'dx = u(x) ' dх | |
dx = du |
В результате получим:
Пример 4 Вычислить неопределенный интеграл:
Некоторые виды интегралов, интегрируемых по частям:
1 - xn = u, dv = остальное;
2 - xkdx = dv, u- остальное
Пример 5 Вычислить неопределенный интеграл:
Пример 6 Вычислить неопределенный интеграл
=
Пример 7 Вычислить определенный интеграл
Пример 8 Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Данный несобственный интеграл расходится
Пример 9 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция четная, поэтому:
Найдем
.
Тогда
т.е. несобственный интеграл сходится.
Ответ: .
Дифференциальным уравнением
Пример 1 Решить уравнение
. Умножим обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда
Пример 2 Решить уравнение: .
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Пример 3 Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка у'=
Решение. Правая часть уравнения задает свойством f(λх,λу)= f(x,y).
|
|
Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Совершим замену и=у/х, где и — некоторая функция от аргумента х. Отсюда у=их,
у'=и'х+и. Исходное уравнение приобретает вид и'х+и=
Продолжаем преобразования: и'х = -и=
Производим разделение переменных:
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
Таким образом lnu-ln(1+u
Потенцируя, находим
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид: Су=х
Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения у'+ у= (х+1) удовлетворяющее начальному условию у(0) =1.
Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем у= иv, где и, v —неизвестные функции от х. Тогда
у' = и'v + иv '. Подставляя у и у' в исходное уравнение, будем иметь
и'v + иv '+ иv =(х+1)
и'v + и [v '+ v]= (х+1)
Подберем функцию v=v(х) так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Для определения v(x) имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Откуда
После интегрирования получим
lnv= — 2ln(х+1), т. е.
v=1/(x+1)²
Для определения функции и(х) имеем
и'v=(х+1)
или и'=(х+1) )
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и(х). Разделим переменные, будем иметь
|
|
Интегрируя обе части равенства, получаем
Последний интеграл вычисляем методом интегрированя по частям, в результате чего имеем
и=
Используя начальное условие, вычислим соответствующее ему значение постоянной С .
У(0)= -1/С=1 т.е. С=-1 .
Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию.имеет вид
У=(х+1)
Пример 5
y ¢¢ – 4y ¢ + 13y = 40 ∙ cos 3x.
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид y = y + y*. Находим решение однородного уравнения y :
y¢¢ – 4y¢ + 13y = 0. Характеристическое уравнение
k2 – 4k + 13 = 0 имеет корни k1 = 2+3i, k2 = 2-3i. Следовательно,
y = e2x ∙ (c1 ∙ cos 3x + c2 ∙ sin 3x).
Находим частное решение y*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид
f(x) = e0 x ∙( 40 cos 3x + 0 ∙ sin 3x). Так как α = 0, β = 3, α + βi = 3i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r =0 . Согласно формуле, частное решение ищем в виде y* = А cos3x + B sin3x. Подставляем y* в исходное уравнение. Имеем:
(y*)¢ = -3A sin3x + 3B cos3x,
(y*)¢¢ = -9Acos3x – 9Bsin3x
Получаем: -9Acos3x – 9Bsin3x – 4(-3A sin3x + 3B cos3x)+13(Acos3x +Bsin3x)= 40 cos3x
или (-9A-12B+13A)cos3x+(-9B+12A+13B)sin3x = 40cos3x + 0∙ sin3x
|
|
отсюда имеем:
4А – 12В = 40,
12А + 4В = 0
Следовательно, А = 1, В = -3. поэтому y*= cos3x – 3sin3x. И наконец,
y = e2x(c1∙cos3x + c2 ∙ sin3x) +cos3x – 3sin 3x – общее решение уравнения.
Пример 6 Указать вид частного решения дифференциального уравнения .
Решение. Это линейное уравнение неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянным коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. Приложение 2, В) сначала решаем характеристическое уравнение
Затем правую часть уравнения представляем в виде
Получим Здесь,
Частное решение, определяемое по правой части, будем иметь вид
Где S - показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения(S=1)
Итак, или
Пример 7 Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения:
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Пример 8 Найти решение дифференциальных уравнений: (х2 – у2) у¢ - 2 ух = 0
Решение Полагая у = ux, находим у¢= u¢x + u, получаем
(x2 – (xu)2) (u¢x + u) – 2ux × x = 0, u¢ = . Сокращаем на х2 0, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
(1 – u2) (x du +u dx) – 2u dx = 0
(1 – u2) x du + (1 – u2) u dx – 2u dx = 0
(1 – u2) x du = - (- u – u3) dx , умножаем обе части уравнения на , получаем
интегрируя, получаем , откуда ,
подставляя , получаем общее решение дифференциального уравнения х2 + у2 = Су.
Пример 9 Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям: у¢+ у = х + 2, у = 0 при х = -1
Решение Пусть у = uv, тогда y¢= u¢v + uv¢.
Подставляя выражения у и у¢ в уравнение, получим
u¢v + uv¢ + uv = x + 2,
u (v¢ + v) = x + 2 - u¢v.
Полагаем, что v¢ + v = 0, тогда , интегрируем, получаем
.
Если v¢ + v = 0, то уравнение u (v¢ + v) = x + 2 - u¢v примет вид x + 2 - u¢v = 0, где v = e-x, то
x +2 - u¢ e-x = 0 , u¢ = (x + 2) ex, u¢ = , тогда du = (x + 2) ex dx, интегрируя, получим
u = ,
u = xex + ex + C
Следовательно, у = uv, то решение у = е-х [C + ex (x + 1)] = Ce-x + x + 1
Найдем частное решение при начальных условиях у = 0, х = -1.
В общее решение подставляем начальные условия, получаем:
Се1 + (-1) + 1 = 0, С = 0, тогда частное решение у = х +1
Пример 9 Решить уравнение y´´ – 6y´ + 10y = 24 ∙ cos 2x.
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид y = y + y*.
y´´ – 6y´ + 10y = 0.
k2 – 6k + 10= 0
k1 = 3+i, k2 = 3-i.
y = e3x ∙ (c1 ∙ cos x + c2 ∙ sin x).
Находим частное решение y*.
f(x) = e0*x ( 24 cos 2x + 0 ∙ sin 2x).
y* = А cos2x + B sin2x.
(y*)´ = -2A sin2x + 2B cos2x,
(y*)´´ = -4Acos2x – 4Bsin2x
Получаем: - 4Acos2x – 4Bsin2x – 6(-2A sin2x + 2B cos2x)+10(Acos2x+ Bsin2x)= 24 cos2x
или (-9A-12B+13A)cos3x+(-9B+12A+13B)sin3x = 40cos3x + 0∙ sin3x
отсюда имеем:
А=
y*= cos2x + sin2x. И, наконец,
y = e3x(c1∙cosx + c2 ∙ sinx) + cos2x + sin 2x – общее решение уравнения.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница:
Члены ряда, взятые по абсолютной величине, составляют убывающую последовательность.
, т.е. общий член ряда стремится к нулю при .
Следовательно, оба условия признака Лейбница выполняются и указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из членов данного ряда, взятые по абсолютной величине, т.е. ряд
1+ - расходится (гармонический ряд)
Тогда исследуемый ряд сходится условно.
Пример 11
Найти область сходимости ряда
Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле:
R =
Следовательно, ряд сходится при -2 < x + 2 < 2, т.е. при – 4 < x < 0, т.е. при х - интервал сходимости ряда.
При x = - 4 имеем ряд
- знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.
При x = 0 имеем расходящийся ряд
=
Следовательно, областью сходимости исходного ряда [-4; 0), т.е. при х [-4; 0) ряд сходится, при остальных значениях х ряд расходится.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 735; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!