Нециклічний коефіцієнт автокореляції

Тема 2: Багатофакторний регресійний аналіз

 

1. Загальні поняття і припущення щодо моделей багатофакторної лінійної регресії (БЛР).

2. Знаходження невідомих параметрів моделей БЛР  методом найменших квадратів.

3. Метод найменших квадратів у матричній формі.

4. Оцінка щільності взаємозв’язку між показником та факторами. Коефіцієнт множинної детермінації та кореляції.

5. Перевірка моделі багатофакторної регресії на адекватність реальній дійсності за F- критерієм Фішера.

6. Перевірка статистичної важливості параметрів моделі БЛР та побудова інтервалів довіри.

7. Коваріаційна та кореляційна матриці як засіб дослідження взаємозв’язку між факторами.

8. Частинні коефіцієнти кореляції, як засіб дослідження взаємозв’язку між факторами.

9. Мультиколінеарність факторів. Методи дослідження та вилучення.

10.  Автокореляція відхилень. Критерії тестування.

11.  Моделі нелінійної БР. Методи їх зведення до лінійного вигляду.

 

 

1.В економетрії явище, яке залежить від багатьох факторів описують на основі моделей БР. Розрізняються лінійні та нелінійні моделі БР.

Моделлю БЛР називають модель, яка встановлює лінійну залежність більше, ніж 2-ома змінними, при цьому, одна із змінних – залежна (y /показник/) і розглядають як лін. функцію від m змінних – незалежних X₁, X₂, X₃, … , X_m , m ≥ 2 (фактори, що впливають на показник).

Загальний вигляд моделі:

Y= a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_m X_m + l (1)

В моделі (1):

Y-показник, вектор спостережень за залежною змінною

Y= (y₁, y₂,…,y _n)

X₁, X₂, X₃, … , X_m;  - фактори, вектори спостережень за незалежними змінними

X₁=(x₁₁, x₁₂, x₁₃, …, x_1n)

X₂= (x₂₁, x₂₂, x₂₃, … , x_2n)

…

X _m=( x_m1, x_m2, x_m3, … ,x _mn)

 

a₀, a₁, a₂, … , a_m – невідомі параметри моделі, знаходження яких є основним завданням побудови моделей даного виду.

l – випадкова величина, вектор спостережень вигляду l=(l₁, l₂, … , l_n)

Моделі (1) аналогічно до моделей лінійної  регресії розглядають як суму 2-ох складових:

 регресія ( = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m ) характеризує середнє (розрахункове) значення показника для заданих значень фактора =a₀ + a₁x_1i + a₂x_2i + … + a_nx_ni  

 

‚ відхилення l стат. даних показника від розрах. значень

L = Y – ( a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m) =

 

Відносно моделей (1) в економетрії вводяться ряд припущень, виконання яких є обов’язковим. Їх порушення призводить до певних негативних наслідків, тому кожне з припущень в економетрії вивчається і досліджується.

 

Припущення відносно моделей БЛР:

 Відхилення l_i, i=  є випадковими величинами, розподіленими за нормальним законом розподілу, з  нульовим математичним сподіванням M(l_i)=0; сталою дисперсією D(l_i)= .

‚ Фактори X_i, X_j; i j; i,j =   є лінійно та кореляційно незалежними, тобто між ними відсутня мультиколінеарність.

ƒ відхилення l_i, l_j; i j; i,j =  лінійно та кореляційно незалежні між собою, тобто між ними відсутня автокореляція.

„ Відхилення l_i, i =  ; та значення факторів Х_j; j =   – лінійно та кореляційно незалежні між собою.

… Модель гомоскедастична, тобто для кожного із n спостережень регресія має сталу дисперсію = D( ) .

2. З вище викладеного,  основним завданням побудови моделей багатофакторної лінійної регресії Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_mX_m + l є знаходження їх параметрів a_0, a_1, a₂,…, a_{m .}

Аналогічно до моделей ПЛР з цією метою в моделях БР застосовують метод НК.

Суть методу полягає в тому, що невідомі параметри моделі знаходять таким чином, щоб сума квадратів відхилень стат. даних показника від його розрахункових значень була min

 

Іншими словами за методом НК для багатофакторних лінійних моделей параметри шукають, як точку min функції

 

 

Аналогічно до моделей ПЛР в моделях БЛР цю точку знаходять застосовуючи:

 необхідну умову існування точки min функцій багатьох змінних (рівність 0 частинних похідних 1-го порядку функції по змінним a_0, a_1, a₂,…, a_{m ).}

 

‚ достатню умову існування min функції багатьох змінних (додатня визначеність визначника, складеного з частинних похідних 2-го порядку функції по змінним a_0, a_1, a₂,…, a_{m .}).

 

При застосуванні достатньої умови виникає складність, пов’язана з великим обсягом розрахунків при доведенні додатної визначеності визначника.

Тому у методі НК для моделей БЛР доведення достатньої умови опускають, припускаючи, що вона за відомо виконується, і даний метод зводиться до застосування тільки необхідної умови.

Отже, за методом НК при знаходженні невідомих параметрів моделей БЛР необхідно:

- побудувати функцію Q

- знайти частинні похідні 1-го порядку функції Q по змінним a_0, a_1, a₂,…, a_m

- прирівняти одержані похідні до 0 і об'єднати їх у систему

- розв’язати систему методом Гауса і розв’язок вважати min функції Q, а отже     

і значеннями невідомих параметрів.

 

Приклад:

На основі статистики впливу 2-ох факторів на показник методом НК побудувати модель двофакторної ЛР

Y\X	X1	X2
3 3 2 2	3 3 3 4	4 5 5 4

 

 

1) будуємо розрахункові значення показника

 

2) будуємо відхилення

 

3) будуємо функцію, яка є Σ квадратів відхилень

 

4) Знаходимо частинні похідні 1-го порядку функції

 

 

=

 

=

 

5) Прирівнюємо одержані похідні до 0, об’єднаємо в с-му і розв’язуємо методом Гауса

 

 

 

 

              

 

 

3. В багатофакторному регресійному аналізі деякі питання розглядають використовуючи теорію матриць. З цієї позиції для знаходження невідомих параметрів моделі БЛР розглядають метод НК у матричній формі, а саме.

Нехай на показник  впливають фактори

 

Між ними існує лінійна залежність вигляду  ; розпишемо цю залежність для n спостережень і одержимо наступну с-му лінійних рівнянь

 

Введемо наступні позначення

Y – вектор – стовпець значень залежної змінної

a – вектор-стовпець невідомих параметрів

l – вектор-стовпець значень відхилень

X – матриця значень факторів або матриця коефіцієнтів у с-мі при невідомих.

 

 

Тоді система запишеться у вигляді наступного матричного рівняння.

 

Розв’язавши дане матричне рівняння відносно невідомого вектора аодержимо формулу визначення невідомих параметрів моделі багатофакторної лінійної регресії методом НК у матричній формі

Т.ч., щоб  за методом НК у матричній формі знайти значення невідомих параметрів моделей БЛР необхідно:

1) побудувати вектори a, Y та матрицю X

2) побудувати матрицю транспоновану до матриці X

3) знайти добуток матриць X^T·X

4) побудувати матрицю, обернену до попередньої матриці (X^T·X)^-1

5) знайти добуток матриці X^T·Y

6) застосувати формулу методу НК у матричній формі a = (X^T·X)^-1 · (X^T·Y)

 

Приклад:

На основі впливу 2-ох факторів на показник знайти невідомі параметри моделі двохфакторної ЛР методом НК у матричній формі.

 

Y\X	X1	X2
3 3 2 2	3 3 3 4	4 5 5 4

 

 

1) ; ;

 

 

2)

 

3)

 

4)

 

 

 

 

 

 

5)

 

6)

 

4.Аналогічно до моделей ПЛР у моделях БЛР важливим є питання дослідження взаємозв’язку між показником і факторами, які на нього впливають. Кількісними критеріями даного факту в багатофакторному аналізі є коефіцієнти множинної детермінації та кореляції.

На основі значення цих коефіцієнтів роблять висновок про існування або не існування кореляційного взаємозв’язку між Y та X₁, X₂, X₃, … , X_m  і про те, чи є цей взаємозв’язок тісним або слабким.

Необхідним перед розрахунком цих к-них критеріїв щільності є визначення:

1 невідомих параметрів a₀, a₁, a₂ … a_m моделей БЛР

2 значень відхилень стат даних показника від розрахункових значень

 

3

Тоді коефіцієнтом множинної детермінації для моделей БЛР називають величину

А коефіцієнтом множинної кореляції величину:

Саме на основі значення R і роблять висновок про щільність взаємозв’язку між показником та факторами, що на нього впливають.

Властивості коефіцієнта множинної кореляції:

1) 0 ≤ R ≤ 1

2) R → 1, то  між Y, X₁, X₂, X₃, … , X_m  існує тісний кореляційний взаємозв’язок,

3) R → 0, то між Y, X₁, X₂, X₃, … , X_m  існує слабкий кореляційний взаємозв’язок.

4) R=0, то між Y, X₁, X₂, X₃, … , X_m  взаємозв’язку не існує

 

 

5. Наступним етапом дослідження моделей БЛР є їх оцінка на адекватність реальній дійсності, вона здійснюється з деякою наперед заданою ймовірністю α за F-критерієм Фішера наступним чином:

1. Розрахувати

 

 

n – кількість спостережень

k – кількість параметрів к = m+1 у МБЛР

 

 

m – кількість факторів

 

2.   Задати ймовірність α (0,95 або 0,99), з якою перевірятиметься адекватність МБЛР реальній дійсності, і для неї та чисел k₁ = m і k₂ = n–m–1 знайти табличне значення критерію Фішера

 = F (α; k₁ ;k₂)

3 Порівняти фактичне значення критерію Фішера з табличним. Якщо:

- _, то з ймовірністю  α побудована МБЛР є адекватною реальній дійсності;

-  то з ймовірністю α побудована МБЛР є неадекватною реальній дійсності.

 

6. Аналогічно до моделей ПЛР в моделях БЛР перевіряється статистична важливість параметрів з метою визначення, який із них, а отже і відповідний йому фактор, має важливе значення при оцінці впливу на показник, та будуються для параметрів інтервали довіри з метою встановлення числових меж можливих значень параметрів одержаних при розрахунках.

Перевірку важливості та побудову інтервалів  здійснюють на основі t -статистики з певною ймовірністю α, таким чином:

 перевірка статистичної важливості параметрів:

а) розрахунок фактичного значень t -статистики для кожного з параметрів

 

 - середнє квадратичне відхилення параметру a_j,

– діагональний елемент матриці (X^T · X)^-1

- середнє квадратичне відхилення регресії

б) задати ймовірність α, з якою перевірятиметься статистична важливість, для неї та  для числа к = n–m–1 знайти  табличне значення t- статистики t ^табл.  = t (α; k)

в) порівняти   фактичне значення t- статистики з табличним і зробити відповідний висновок. А саме, якщо:    вважати статистично неважливим з ймовірністю α; якщо ж  вважати статистично важливим.

‚ Побудова для параметрів інтервалів довіри:

а) задати ймовірність α, з якою будуватимуться інтервали довіри, і для неї та числа k = n–m–1, знайти табличне значення t- статистики. t ^табл.  = t (α; k).

б) знайти для кожного з параметрів моделі  = t ^табл · σ[a_j], – можлива похибка його значень.

в) побудувати інтервали довіри для кожного параметру, як інтервали вигляду

 

7. При дослідженні взаємозв’язку між факторами, а саме в методах такого дослідження, як засіб використовують коваріаційну та кореляційну матриці

Нехай на показник

впливають фактори

 

Коваріаційною матрицею побудованою для значень факторів називають матрицю вигляду:

 

 

Елементами даної матриці є коефіцієнти коваріації, розраховані для пар факторів із загальної їх множини.

Так, якщо розглянути будь-які 2 фактори із  їх множини

X_i = ( x_i1, x₁₂, …, x_in)

X_j = ( x_j1, x_j2, …, x_jn)

То коефіцієнтом коваріації  для цих факторів, а отже елементом коваріаційної матриці K, називають величину

Властивості коваріаційної матриці

розмірність матриці визначається на основі кількості факторів.

Якщо факторів m, то розмірність коваріаційної матриці m *  m

‚Коваріаційна матриця  симетрична відносно головної діагоналі

 

K_ij = K_ji, i ≠ j

 

ƒНа головній діагоналі коваріаційної матриці стоять дисперсії факторів

K_ij = D[X_j], i = j

 

Поряд з цією матрицею для дослідження взаємозв’язку між факторами будують кореляційну матрицю.

Кореляційною матрицею, побудованою для значень факторів X₁ , X₂ , … , X_m , називають матрицю вигляду:

 

Елементами матриці є коефіцієнти кореляції розраховані для пар факторів з усієї їх множини. А саме, якщо взяти 2 фактори

X_i = (х_i1, х_i2, … , х_in)

X_j = (х_j1, х_j2, … , х_jn), то коефіцієнтом кореляції  для них називають величину

 

 

Властивості кореляційної матриці

 розмірність визначається або на основі кількості факторів (якщо факторів m, то розмірність m×m) або на основі розмірності коваріаційної матриці (розмірності цих 2-ох матриць співпадають).

 

‚ Кореляційна матриця симетрична відносно головної діагоналі

r_ij = r_ji, i ≠ j

 

ƒ На головній діагоналі кореляційної матриці стоять 1.

 

Приклад:

На основі статистики оцінки впливу 3-ох факторів на показник побудувати для значень факторів

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	n=4
x y	x1	x2	X3		( )2		( )2		( )2	5*7	5*9	7*9
24 25 28 30	0.5 0.8 0.9 2.4	1.5 2.6 2.7 2.8	1.08 2.8 1.2 1.3	-0.65 -0.35 -0.25 1.25	0.4225 0.1225 0.0625 1.5625	-0.9 0.2 0.3 0.4	0.81 0.04 0.09 0.16	-0.52 1.2 -0.4 0.3	0.27 1.44 0.16 0.09	0.585 -0.07 -0.075 0.5	0.338 -0.42 0.1 0.375	0.468 0.24 0.12 -0.12
	4.6	9.6	6.38	–	2,17		1.1		1.96	0.94	-0.375	0.708

 

 

            

 

 

 

 

          

   

 

 

8. При встановленні і дослідженні взаємозв’язку між факторами інколи недостатньою є побудова коваріаційної і кореляційної матриць. У такому випадку для дослідження взаємозв’язку між факторами розраховують так звані коефіцієнти частинної кореляції для пар факторів – r^*.

 

Ці коефіцієнти дають можливість визначити існування і тісноту кореляційного взаємозв'язку між будь-якими двома факторами при умові, що інші фактори фіксуються на сталому рівні.

 

Частинні коефіцієнти кореляції розраховують за 2-ма методами:

 

1) На основі кореляційної матриці

2) На основі матриці, оберненої до кореляційної.

 

Розглянемо будь-які два фактори з множини всіх факторів і вважатимемо всі інші сталими

X_i = (х_i1, х_i2, … , х_in)

X_j = (х_j1, х_j2, … , х_jn)

 

А також побудуємо кореляційну матрицю r, і знайдемо до неї обернену Z = r ^-1.

 

Тоді, коефіцієнтом частинної кореляції для факторів X_i, X_j розрахованим на основі методу кореляційної матриці називають величину:

 

 

R_ij, R_ii, R_jj – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів кореляційної матриці.

А коефіцієнтом частинної кореляції факторів Х_i, Х_j, розрахованих за методом матриці, оберненої до кореляційної, називають величину:

 

Z_ij, Z_ii, Z_jj – відповідні елементи матриці, оберненої до кореляційної.

 

Вибір методу залежить від початкових даних та від постановки задачі.

 

 

Приклад 1.

 

На основі матриці, оберненої до кореляційної, розрахувати частинні коефіцієнти кореляції для пар, утворених з трьох факторів. Чи існує між ними частинна кореляція?

X₁, X₂, X₃

 

 

 

(X₁, X₂) (X₁, X₃) (X₂, X₃)

 

r^*[X₁, X₂] =   = 0,04 −>   x₁, x₂  не існує

 

r^*[X₁, X₃] =   = -0,05 ≈ 0 −> x₁, x₃ не існує зв’язку

 

r^*[X₂, X₃] =   = -0,08 ≈ 0 −> x₂, x₃ не існує

Приклад 2.

 

На основі 10 спостережень змінних Х₁, Х₂, Х₃ розраховано величини, які використати для оцінки частинної кореляції  в парі (X₂, X₃).

n=10

 

r [X₁, X₂] = 0,96

r [X₁, X₃] = 0,32

 

 

Необхідно побудувати матрицю

 

   

 

r₁₁ = r₂₂ = r₃₃ =1

r₁₂ = r₂₁ = 0.96

r₁₃ = r₃₁ = 0.32

 

 

 

обернена тісна частинна кореляція.

 

9. Як було викладено вище, одним із припущень у моделях БЛР є відсутність лінійної та кореляційної залежності між факторами, які впливають на показник.

Якщо це припущення порушується, то між факторами виникає мультиколінеарність.

 

Т.ч., мультиколінеарність в економетрії – це лінійна та кореляційна залежність між будь-якими 2-ома факторами X_i, X_j, i,j= з множини всіх факторів, що впливають на показник.

 

Розглядають 2 види мультиколінеарності:

 строгу (виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j, i,j=   лінійної залежності вигляду X_i = αX_j , α = const > 0.

‚ нестрогу. Виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j залежності виглядуX_i = αX_j  + L, α = const > 0, L – випадкова величина – відхилення.

 

Мультиколінеарність в моделях БЛР є негативним явищем, і тому певним чином досліджується, виявляється і усувається.

 

Мультиколінеарність негативна, тому що:

1) у випадку існування строгої мультиколінеарності взагалі неможливо побудувати модель БЛР.

2) у випадку існування нестрогої мультиколінеарності модель БЛР побудувати можливо, але при розрахунку невідомих параметрів можливі грубі похибки та деякі неточності, що призводять до неефективності значень параметрів та неефективності застосування статистичних критеріїв дослідження побудованої моделі.

 

Для виявлення мультиколінеарності. використовують 2 способи:

 на основі ознак мультиколінеарності

‚ на основі методу Фаррара-Глобера

 

Ознаки мультиколінеарності:

 

І.нехай для значень факторів, що впливають на показник

 

Х₁ = (x₁₁, x₁₂, … , x_1n)

Х₂ = (x₂₁, x₂₂, … , x_2n)

… … … … …

Х_m = (x_m1, x_m2, … , x_mn)

Y = (y₁, y₂, … , y_n)

розраховано:

 

−> коефіц. кореляції для пар факторів

 

 

−> побудовано модель БЛР, тобто знайдемо її параметри

 

Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m + l

 

 

−> розраховано коефіц. множинної кореляції

 

 

Тоді, якщо серед коефіц. кореляції знайдуться такі, значення яких прямує до коефіц. множ. кореляц.,  то говорять про наявність мультиколінеарності між факторами цими.

 

r[Х_i, Х_j] → R,  мультиколінеарні.

 

ІІ.Нехай для значень факторів побудовано кореляц. матрицю r і розраховано визначник цієї матриці Δr, при чому значення Δr є [0; 1]

 

існує строга мультиколінеарність між факторами

                       мультиколінеарність відсутня

 

ІІІ.Нехай: на основі статистичної інформації показника  та факторів, побудовано: модель БЛР

Y = a₀ + a₁Х₁ + a₂Х₂ + … + a_mХ_m + l,

кореляційну матрицю r, та обернену до неї Z = r ^-1.

 

Назвемо коефіцієнтом детермінації факторів величини:

, Z_jj – діагональний елемент матриці Z.

Тоді, якщо параметри моделі є достатньо малими по відношенню до відповідних коефіц. детермінації факторів, то говорять про наявність мультиколінеарності факторів.

 

IV.Якщо серед коефіц. детермінації факторів знайдуться такі, значення яких прямує до 1, то говорять, що відповідний фактор є мультиколінеарним з рештою факторів

 

 - мультиколінеарний з рештою факторів.

 

Метод Фаррара-Глобера

Даний метод включає 3 статистичні критерії, кожен з яких, з певною заданою ймовірністю α, дає можливість визначити або наявність, або відсутність одного з видів мультиколінеарності між факторами. А саме:

 

 критерій „ксі-квадрат” – χ² - дає можливість визначити чи існує взагалі мультиколінеарність між факторами.

‚ F-критерій Фішера - визначає мультиколінеарність  одного фактора з рештою.

ƒ t-статистика - визначає мільтиколінеарність між парами факторів.

Для визначення наявності або відсутності мультиколінеарності факторів за методом Фаррара–Глобера необхідно:

 

1) для значень факторів побудувати кореляційну матрицю r

2) обчислити визначник Δr кореляційної матриці r

3) розрахувати фактичне  значення критерію χ² за формулою:

 

n – кількість спостережень

m – кількість факторів

 

4) задати ймовірність α і для неї та числа   знайти табличне значення  критерію χ²

 

5) порівняти фактичне  значення χ² з табличним. Якщо:

χ²_факт > χ²_табл => мультиколінеарність існує, переходимо до наступного кроку методу.

χ²_факт < χ²_табл  =>    мультиколінеарності не існує, завершуємо даний метод

 

6) побудувати матрицю, обернену до кореляційної Z=r ^-1

 

7) для кожного із факторів знайти фактичне значення критерію Фішера

 

 

8) для ймовірності α і чисел k₁=n – m ; k₂= m – 1 знайти табл. значення F-критерію Фішера

 

F^табл = F(α; k₁; k₂)

 

9) порівняти фактичне значення критерію Фішера з табличним.

 

F_Xj^факт > F ^табл => фактор X_j є мультиколінеарним з рештою факторів;

 

F_Xj^факт < F ^табл => фактор з рештою факторів не колінеарний.

 

10) розрахувати для кожної пари факторів частинні коефіцієнти кореляції.

 

 

11) Для кожної пари факторів знайти фактичне значення t-статистики

 

 

12) Для ймовірності α та k = n – m  знайти табличне значення t-статистики

 

t ^табл = t (α; k)

 

13) порівняти фактичне значення t-статистики з табличним:

 

  => фактори X_i, X_j – мультиколінеарні

  => фактори не мультиколінеарні

 

Після того, як виявлено по методу Фаррара–Глобера пару мультиколінеарних факторів, необхідно позбутись даного явища в силу його негативності. Для цього застосовують 2 методи усунення мультиколінеарності:

−> вилучення одного з мультиколінеарних факторів з розгляду

−> вводиться новий фактор X_i^* = X_i –  X_j 

Замість одного мультиколінеарного фактору розглядаюєься новий, але з попередньою його перевіркою на мультиколінеарність. Тобто знову здійснюють перевірку на мультиколінеарність за методом Фаррара–Глобера і у випадку її відсутності використовують новий фактор, наявності – використовують 1 метод.

 

10. Розглянемо вплив факторів X₁₌ (х₁₁, х₁₂, …, х_1n), X₂₌ (х₂₁, х₂₂, …, х_2n), ... , X_{m =}(х_m1, х_m2, …, х_mn)  на показник Y = (y₁, y₂, …, y_n)

 

Припустимо, що на основі такого впливу побудовано модель БЛР, що відображає взаємозв’язок показника та факторів.

 

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_mX_m + l

 

та розраховано значення відхилень.

l_i = y_i – a₀ - a₁x_1i – a₂x_2i – … – a_mx_mi

 

Одним з припущень, введених відносно моделі БЛР, було припущення про відсутність лінійної та кореляційної залежності між будь-якими відхиленнями l_i, , якщо це припущення не виконується, то говорять, що між відхиленнями існує явище автокореляції.

 

Автокореляцією в моделях БЛР називають лінійну та кореляційну залежність між будь-якими елементами ряду побудованого з відхилень

l₁, l₂, l₃, … , l_n

 

Якщо лінійна та кореляційна залежність існує між сусідніми елементами ряду відхилень, то говорять, що між ними існує автокореляція І порядку.

 

Автокореляція є також негативним явищем в економетриці, має свої причини виникнення та наслідки, а отже потребує дослідження, виявлення та усунення. Виявлення автокореляції здійснюються на основі т.з. критеріїв наявності автокореляції, а усунення – на основі  узагальненого методу НК.

 

Причини виникнення автокореляції:

 

 неврахування у регресії фактора, який має суттєву роль при дослідженні того чи іншого економічного явища.

‚ невідповідність вибраного вигляду залежності показника від факторів статистичним даним, тобто реальній дійсності.

ƒ одержання статистичних даних з великими похибками при дослідженні і вимірюванні будь-якого економічного явища.

 

Наслідки автокореляції:

 

 Неефективність знайдених параметрів моделі через існування грубих похибок в статистичній інформації, а отже неефективність дослідження впливу відповідного фактору на показник.

‚ Неможливість застосування з тих же причин та неефективність статистичних критеріїв перевірки адекватності моделі та перевірки статистичної важливості параметрів.

ƒ Неефективність з тих же причин прогнозування і планування зміни показника під впливом зміни факторів.

 

Наявність автокореляції виявляють на основі наступних статистичних критеріїв:

 

1)критерій Дарбіна–Уотсона;

2)критерій фон Неймана;

3)нециклічний коефіцієнт автокореляції.

 

Аналогічно до мультиколінеарності розрізняють автокореляцію:

−> строгу

−> нестрогу

 

Строга автокореляція, якщо між відхиленнями l_i, l_j існує співвідношення вигляду l_i=ρl_j, ρ – коефіцієнт автокореляції.

ρ > 0  => додатня автокореляція

ρ < 0  => від’ємна автокореляція

 

Нестрога автокореляція: l_i=ρl_j+L, L – деяке відхилення.

 

 

Критерій Дарбіна–Уотсона

Даний критерій дає можливість з деякою, наперед заданою ймовірністю α(0,95; 0,99), на основі порівняння фактичного значення з табличними, встановити наявність або відсутність автокореляції відхилень. Для цього необхідно:

 

для значень відхилень розрахувати фактичне значення критерію Дарбіна–Уотсона за формулою:

 

              d ^факт є [0; 4]

 

‚ задати ймовірність α, з якою перевірятиметься автокореляція і для неї та чисел k₁= n, k₂= m знайти табличне значення критерію Дарбіна – Уотсона d^табл, яке характеризуватиметься 2-ома числами:

+ нижньою межею d_l

+ верхньою межею d_n

ƒ порівняти факт значення критерію Дарбіна–Уотсона з табличними. Зробити висновок згідно виконання або невиконання наступних умов

а) 0 < d ^ф  < d_l – існує додатня автокор. відхилень

б) 4 – d_l <  d ^ф < 4 – d_n          – автокор. відсутня

в) 4 – d_l <  d ^ф < 4           – автокор. від’ємна

г) d_l <   d ^ф < d_n             => висновок про існування автокор. зробити неможна

або 4 – d_n <  d ^ф < 4 – d_l

 

Критерій фон Неймана

Даний критерій дає можливість з деякою наперед заданою ймовірністю α на основі порівняння фактичного значення критерію з табличним зробити висновок про наявність або відсутність автокореляції відхилень ( Q-статистика ).

 

Для цього необхідно:

1) розрахувати для значень відхилень фактичне значення критерію фон Неймана за формулою

 

 

2) Задати ймовірність α, з якою перевірятиметься автокор. і для неї та числа k = n знайти табл. значення критерію фон Неймана

 

Q^табл = Q(α; k)

 

3) порівняти Q^табл та Q^факт

Q^факт < Q^табл     => з ймовірністю α можна говорити про автокор. відхилень першого порядку

Q^факт > Q^табл            => автокор. відсутня

 

 

Нециклічний коефіцієнт автокореляції

 

Даний критерій дає можливість визначити наявність або відсутність автокор. відхилень розрахувавши і проаналізувавши його значення

 

 

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 478; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!