Контрольной работы № 11 для ЗРФ
Nbsp; РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Высшей математики и математического моделирования
Методические указания и задания
К контрольным работам студентов
III курса заочного отделения
Для ЗРФ
Составитель: Ваксман К.Г.
Михайлова А.В.
Москва,
2006 г.
Контрольная работа № 11 для ЗРФ
Тема: Уравнения математической физики.
Краткие теоретические сведения.
1. Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных от нее второго и первого порядка, линейные относительно функции и ее частных производных.
1.1. Для однородных уравнений в частных производных (в которых отсутствует посторонняя функция в правой части уравнения) справедливо утверждение, что общее решение есть функциональный ряд, составленный из частных решений.
2. Решение уравнения теплопроводности в конечном стержне длиной .
2.1. или .
Искомая функция – температура в точке с координатой бесконечно тонкого стержня в момент времени . – постоянный коэффициент. Функция удовлетворяет условиям:
2.2. Начальным – т.е. значение температуры в начальный момент времени в точках стержня равно .
2.3. Граничным условиям
2.3.1.
2.3.2. , т.е. температура на концах стержня равна нулю.
|
|
3. Решение уравнения теплопроводности будем искать методом Фурье разделения переменных.
Пусть частные решения представлены в виде произведения двух функций, каждая их которых зависит только от одной независимой переменной.
3.1.
Тогда а .
Подставим в (2.1) .
Разделим обе части уравнения на ; .
Обе части этого уравнения должны быть постоянными, т.к. левая часть не зависит от , а правая – не зависит от , т.е. они не зависят ни от , ни от . Обозначим эту величину через . Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.
3.2.1. .
3.2.2. .
Решим 3.2.1. или
Поскольку температура не может ни при каком неограниченно возрастать при , то – отрицательное число. Обозначим ; .
Решим уравнение 3.2.2. или Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение
Решение 3.2.2. . Из первого граничного условия 2.3.1. следует, что т.е. а , т.е. .
Из второго граничного условия 2.3.2. следует, что т.к. , то , где
Числа , зависящие от натурального числа , называются собственными числами задачи.
3.2.3. .
3.2.4. Частное решение Обозначим произведение произвольных постоянных
4. Общее решение уравнения теплопроводности (по 1.1.)
|
|
.
5. Необходимо определить коэффициенты , пользуясь начальным условием 2.2.
Учтя, что , получим
5.1.) 5.1. – это разложение функции , заданной на интервале , в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты вычисляются по формулам:
5.1.1. . Подставив вычисленные в формулу 4. , получим искомое решение задачи.
Решение примера задания
контрольной работы № 11 для ЗРФ
Найти решение уравнения теплопроводности.
(I) , 0< <3, .
Начальные условия:
(II) . .
Граничные условия:
(III) ,
Решение:
Пусть ; , .
Подставим в уравнение (I)
; .
Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
а) ; б) .
Решим уравнение а) , , .
Решим уравнение б) .
Характеристическое уравнение , ; , .
Воспользуемся граничными условиями (III)
;
По 3.2.3 и .
По 3.2.4 .
Общее решение по 4) .
Найдем , воспользовавшись начальными условиями (II)
.
По 5.1.1 .
Для получения надо вычислить интегралы двух видов:
А) , В) .
Напомним, а) они вычисляются методом интегрирования по частям:
|
|
если , то ;
б) ; ;
в) , где ( .
Вычислим А)
.
В)
.
При вычислении : , ; ; ; ; ; ;
.
Итак, решение
.
Варианты заданий
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 237; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!