Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=P(1+i)ⁿ

и решим ее относительно P

(15)

где

(16)

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то получим

(17)

Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент.

Разность D=S-P называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P=S(1-d_сл)ⁿ, (18)

где d_сл – сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D=S-P=S-S(1-d_сл)ⁿ=S[1-(1-d_сл)ⁿ]. (19)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной m раз в году описывается формулой

P=S(1-f/m)^N, (20)

где N – общее число периодов дисконтирования (N=mn).

Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей

(1-f/m)^mn=(1-d_сл)ⁿ,

из которого следует, что

d_сл=1-(1-f/m)^m. (21)

Эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования относительно S. Получаем

изP=S(1-d_сл)ⁿ

(22)

а из P=S(1-f/m)^N

(23)

Пример 6.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

Решение.

= 24,691358 млн. руб.

Пример 7.

Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

Решение.

= 24,490242 млн. руб.

Непрерывные проценты

Наращение и дисконтирование

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S=P(1+j/m)^mn,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем

(24)

Известно, что

где e – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (24), окончательнополучаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j равна

S=Pe^jn (25)

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. Тогда

S=Pe^δn (26)

Сила роста δ представляет собой номинальную ставку процентов при m→∞.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se^-δn (27)

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

(1+i)ⁿ=e^δn (28)

Из записанного равенства следует, что

δ=ln(1+i) (29)

i=e^δ-1 (30)

Пример8.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста/

Решение.

Воспользуемся формулой (29)

δ=ln(1+i)=ln(1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

Расчет срока ссуды и процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки.