Стационарный режим работы и коэффициент загрузки системы.

На экзамен не выносится!!!! Лекция 12

Основы теории массового обслуживания

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать так называемые задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элемента системы) могут возникать, по крайней мере, две типичные ситуации:

1. число заявок слишком велико для данной станции, возникают очереди, и за задержки в обслуживании приходится платить;

2. на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций.

Теория массового обслуживания – специальный раздел теории систем – это раздел теории вероятности, в котором изучаются системы массового обслуживания с помощью математических моделей.

Система массового обслуживания (СМО) – это модель, включающая в себя: 1) случайный поток требований, вызовов или клиентов, нуждающихся в обслуживании; 2) алгоритм осуществления этого обслуживания; 3) каналы (приборы) для обслуживания.

Примерами СМО являются кассы, АЗС, аэропорты, продавцы, парикмахеры, врачи, телефонные станции и другие объекты, в которых осуществляется обслуживание тех или иных заявок.

Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах.

Главная особенность задач данного класса – явная зависимость результатов анализ и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит и времени их исполнения).

Предмет теории массового обслуживания – это установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала обслуживания, числом каналов и эффективностью обслуживания.

В качестве характеристик СМО рассматриваются:

§ средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными;

§ среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом;

§ среднее время ожидания в очереди;

§ вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена;

§ закон распределения длины очереди и другие.

Добавим, что заявки (требования) поступают в СМО случайным образом (в случайные моменты времени), с точками сгущения и разрежения. Время обслуживания каждого требования также является случайным, после чего канал обслуживания освобождается и готов к выполнению следующего требования. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает некоторой пропускной способностью. Пропускная способность СМО может быть абсолютной (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) и относительной (среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных).

3.1 Модели систем массового обслуживания.

Каждую СМО может характеризовать выражением: ( a / b / c ) : ( d / e / f ), где

a - распределение входного потока заявок;

b - распределение выходного потока заявок;

c – конфигурация обслуживающего механизма;

d – дисциплина очереди;

e – блок ожидания;

f – емкость источника.

Теперь рассмотрим подробнее каждую характеристику.

Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l.

Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m.

Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать:

1. один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец);

2. один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов(столовая, поликлиника, конвейер);

3. несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал).

Таким образом, можно выделить одно- и многоканальные СМО.

С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.

Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной.

Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие:

1. ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип;

2. ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься);

3. СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных.

4. ПР – обслуживание с приоритетом.

Длина очереди может быть

§ неограничена – тогда говорят о системе с чистым ожиданием;

§ равна нулю – тогда говорят о системе с отказами;

§ ограничена по длине (система смешанного типа).

Примером СМО с чистым ожиданием можно считать погрузочно-разгрузочное депо. В основном же ограничение на длину очереди накладывает размер места для размещения очереди (например, автостоянки или помещения).

Блок ожидания – «вместимость» системы – общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Таким образом, е=с+d.

Емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т.е. ее можно считать неограниченной.

Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент.

3.2 Входной поток требований.

С каждым отрезком времени [a,a+T ], свяжем случайную величину Х, равную числу требований, поступивших в систему за время Т.

Поток требований называется стационарным, если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а, а зависит только от длины данного промежутка Т. Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т=24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т=60 минут) – можно.

Поток называется без последействия, если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.

Поток называется ординарным, если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования. Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).

Поток называется простейшим, если он стационарный, без последействия и ординарный.

Основная теорема. Если поток – простейший, то с.в. Х_[a.a+T_] распределена по закону Пуассона, т.е. .

Следствие 1. Простейший поток также называется пуассоновским.

Следствие 2. M(X)=M(Х[ a, a+T ] )=lT, т.е. за время Т в систему в среднем поступает lT заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.

Рассмотрим ПРИМЕР.

В ателье поступает в среднем 3 заявки в день. Считая поток простейшим, найти вероятность того, что в течение двух ближайших дней число заявок будет не менее 5.

Решение.

По условию задачи, l=3, Т=2 дня, входной поток пуассоновский, n ³5. при решении удобно ввести противоположное событие, состоящее в том, что за время Т поступит меньше 5 заявок. Следовательно, по формуле Пуассона, получим
Вероятность простоя и отказа системы.

Найдем теперь вероятность нахождения системы в состоянии Е0 в любой момент времени t (т.е. р0(t)). График функции изображен на рисунке 3.2.

Асимптотой графика является прямая .

Очевидно, начиная с некоторого момента t,

Рисунок 3.2

Окончательно получим, что и , где р1(t) – вероятность того, что в момент времени tсистема занята (т.е. находится в состоянии Е1).

Очевидно, что в начале работы СМО протекающий процесс не будет стационарным: это будет «переходный», нестационарный режим. Спустя некоторое время (которое зависит от интенсивностей входного и выходного потока) этот процесс затухнет и система перейдет в стационарный, установившийся режим работы, и вероятностные характеристики уже не будут зависеть от времени.

Стационарный режим работы и коэффициент загрузки системы.

Если вероятность нахождения системы в состоянии Еk, т.е. Рk(t),не зависит от времени t, то говорят, что в СМО установился стационарный режим работы. При этом величина называется коэффициентом загрузки системы (или приведенной плотностью потока заявок). Тогда для вероятностейр0(t) ир1(t) получаем следующие формулы: , . Можно также сделать вывод:чем больше коэффициент загрузки системы, тем больше вероятность отказа системы (т.е. вероятность того, что система занята).

ПРИМЕР.

На автомойке один блок для обслуживания. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти вероятность того, что подъехавший автомобиль найдет систему занятой, если СМО работает в стационарном режиме.

Решение. По условию задачи, l=5, m =60мин/10мин = 6. Коэффициент загрузки y=5/6. Надо найти вероятность р1 – вероятность отказа системы.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2601; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!