Метод Ньютона (метод касательных)
Метод позволяет свести решение нелинейных уравнений к решению последовательности линейных задач. Метод быстро сходится. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на характер функций :
1. существование второй производной функции на множестве ;
2. удовлетворения первой производной условию для всех принадлежащих ;
3. знакопостоянство , и для всех , принадлежащих .
Пусть действительный корень уравнения отделен на отрезке . Возьмем на отрезке такое число , при котором имеет тот же знак, что и .
Итерационная последовательность строится:
(2.16.1)
Предполагается, что .
Методика решения нелинейных уравнений методом Ньютона
1. Задать начальные приближения так, чтобы выполнялось неравенство , а также малое положительное число . Положить .
2. Вычислить по методу Ньютона: .
3. Процесс завершить если тогда корень , иначе и перейти к пункту 2.
Пример 2.2.16.5.Методом Ньютона найти положительный корень уравнения с точностью до 0,001. Положительный корень заключен в промежутке , так как , а .
Решение.
Здесь ,
,
.
Так как и при =1,7 имеют один и тот же знак, а именно и , тогда
, где ,
.
Проверить условие завершения процесса итераций:
.
Применим снова метод Ньютона.
Имеем , где , ; значит, .
.
Аналогичным образом находим ; , .
.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,6429.
|
|
Метод итераций
Если данное уравнение приведено к виду , где всюду на отрезке , на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения , принадлежащего отрезку , можно построить такую последовательность:
.
Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения на отрезке .
Методика решения нелинейных уравнений методом простой итерации
1. Уравнение f(x)=0 привести к каноническому виду . Задать начальное приближение , , – погрешность. Для сходимости нужно обеспечить выполнение условия , .
2. Вычислить следующее приближение по методу простой итерации:
3. Итерационный процесс завершаются если , тогда ,
иначе и перейти к 2.
Пример 2.2.16.6.Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения с точностью до 0,001, корень уравнения отделен на отрезке .
Решение.
Запишем исходное уравнение в виде .
Здесь , , то в промежутке и поэтому метод итераций применим при начальном приближении . Найдем теперь первое приближенное значение:
.
.
Найдем второе и последующие приближения:
;
Проверим погрешность
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
Таким образом, искомый корень .
|
|
Методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим линейную неоднородную задачу для систем линейных алгебраических уравнений, которая записывается в виде:
, (2.17.1)
где – действительная матрица,
– вектор столбец,
– вектор неизвестных, принадлежат – -мерному евклидовому пространству.
(2.17.2)
Требуется найти решение из системы (2.17.2), подстановка которого в (2.17.2) приводит к верному равенству .
Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит в исключении слагаемых системы путем ее равносильного преобразования. Метод разбивается на две совокупности операций, которые разбиваются условно на прямой и обратный ход.
а) Прямой ход состоит в исключении элементов, расположенных ниже элементов, соответствующих главной диагонали матрицы . Матрица преобразуется к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали.
б) Обратный ход, из матрицы определяем последовательно
Надо решить систему алгебраических уравнений :
Нужно преобразовать к треугольной матрице.
Прямой ход, в общем случае коэффициенты матрицы рассчитываются в виде:
|
|
, , (2.17.3)
где – номер шага , .
Получим
.
Обратный ход, начиная с последнего уравнения, последовательно определяем
,
. (2.17.4)
Изложенный метод имеет ограничение, связанное с тем, что ведущие элементы и т.д. должны быть отличны от нуля и не должны быть малыми по модулю, поскольку погрешности вычислений будут большими.
Порядок последовательности исключения неизвестных может сильно сказаться на результатах расчетов. Наиболее надежным является метод Гаусса с выбором главного элемента.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!