Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра числа. Верная значащая цифра
Пусть приближенное число задано в виде конечной позиционной записи:
|
)
Значащими цифрами числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда точности. Нули, стоящие левее первой отличной от нуля цифры, не являются значащими цифрами. (Например, числа 25.047 и 0.00250 имеют соответственно 5 и 3 значащих цифр.)
Любое число может быть представлено в виде: , где – некоторое целое число, называемое порядком числа A, q - основание системы счисления, b - число, называемое мантиссой числа A. Если выполнено условие , то говорят, что число A записано в нормализованном виде.
Пример.Рассмотрим представления числа a=210.
Система счисления | Позиционная запись | Запись числа в нормализованном виде |
Двоичная | 10000000000 | 1*101011 |
Десятичная | 1024 | 0.1024*104 |
|
При решении задач очень часто ставится условие: вычислить результат с точностью до одной десятой, одной сотой и т.д. Создается впечатление, что точность вычислений определяется числом верных десятичных знаков после запятой. Это не так, число десятичных знаков зависит от единицы измерения. Остановимся на этом подробнее.
Цифра в записи 1.1 называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.
|
|
Если приближенное число записывается без указания его предельной абсолютной погрешности, то выписываются только его верные цифры (знаки). При этом верные нули на правом конце числа не отбрасываются. Например, числа 0.0344 и 0.034400, как приближенные, различны. Относительно первого числа можно только утверждать, что его абсолютная погрешность не превосходит 10-4, а из записи второго числа явствует, что его абсолютная погрешность не больше чем 10-5.
В том случае, когда у приближенного числа значащих цифр в целой части больше чем имеется верных знаков, то прибегают к записи в нормализованном виде. Например, A=0.390·105. Из этой записи понятно, что у числа A три верные значащие цифры. В данной ситуации запись вида недопустима. В нормализованном виде можно записать и рассмотренные выше приближенные числа:0.344·10-1, 0.34400·10-1.
Можно говорить о числе верных значащих цифр у приближенного числа и о числе верных цифр после запятой. Как правило, при реальных вычислениях у приближенных чисел содержатся цифры после запятой, т.е. имеется дробная часть. Например, приближенное число A=25.030 имеет 5 верных значащих цифр, и 3 верные цифры после запятой, а у числа B=0.00230, наоборот, 3 верные значащие цифры и 5 верных цифр после запятой.
|
|
Таким образом абсолютная погрешность приближенного числа характеризуется числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность – числом верных значащих цифр.
Точность вычисления – это относительная погрешность результата, поэтому она определяется не числом верных десятичных знаков после запятой, а числом верных значащих цифр результата.
Представление чисел в ЭВМ
Принципиальное ограничение на выполнение арифметических вычислений накладывает способ представления чисел в памяти ЭВМ. В памяти компьютера действительные числа представляются в нормализованном виде, т.е. первая значащая цифра мантиссы не равна нулю. Записи чисел с одинарной точностью (4 байта) соответствует для компьютеров IBM PC примерно 7 цифр в десятичном представлении мантиссы, а записи с двойной точностью (8 байт) соответствует 14 цифр в мантиссе. Порядок изменяется от –37 до +37 для одинарной точности и от –63 до +63 для двойной точности.
При представлении действительных чисел в памяти ЭВМ возникают ошибки, обусловленные тем, что дробное десятичное число не всегда точно представимо в двоичной системе счисления (Например, дробь 1/10 имеет конечное десятичное представление 0.1, но, будучи переведена в двоичную систему счисления, становится бесконечной дробью 0.000110011001100…). Поэтому в ЭВМ нельзя представить не только все трансцендентные и иррациональные числа, но и даже все рациональные числа. ЭВМ позволяет представить лишь конечное подмножество действительных чисел. При этом особо выделяется множество целых чисел, для которых в ЭВМ, как правило, используется специальный способ представления. Происходит раздвоение множества целых чисел. Одно и то же целое число можно представить как:
|
|
– машинное целое число;
– машинное число с плавающей точкой.
В языках программирования логическое выражение 7=7.0 (Equal) не обязательно является истинным. Это объясняется тем, что в ЭВМ используются различные способы представления целых чисел и чисел с плавающей точкой. Таким образом, один и тот же набор битов может интерпретироваться по-разному. Например, 32 бита для обычных целых и вещественных чисел в Фортране могут интерпретироваться как:
a) машинное целое число: 1 бит обозначает знак числа, а остальные 31 бита отводятся под позиционную запись 31-значного целого числа, в двоичной системе счисления;
b) машинное число с плавающей точкой: 1 бит обозначает знак числа, остальные 31 битов отводятся для записи значения числа, представленного в экспоненциальном виде в двоичной системе счисления, при этом под смещенный порядок отводится 8 битов, а под мантиссу 23.
|
|
При использовании двойной точности под запись числа отводится 64 бита. Для целых чисел: 1 бит – знак, остальные 63 бита – позиционная запись числа в двоичной системе счисления. Для чисел с плавающей точкой: 1 бит – знак числа, 63 бита – экспоненциальная запись числа в двоичной системе счисления (11 бит – смещенный порядок, 52 бита – мантисса).
Значение смещенного порядка числа вычисляется по формуле , где – порядок числа, а – количество бит, которое отводится под запись порядка числа.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 955; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!